Diferencia entre revisiones de «Número hipercomplejo»

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Revisión del 01:44 27 ago 2009

En matemática, los números hipercomplejos son una extensión de los números complejos construidos mediante herramientas del álgebra abstracta, tales como cuaterniones, tessarines, cocuaterniones, octoniones, bicuaterniones y sedeniones.

Estructura algebraica

Para ser más precisos, forman álgebras n-dimensionales sobre los números reales. Pero ninguna de estas extensiones forma un cuerpo, principalmente porque el cuerpo de los números complejos está algebraicamente cerrado (ver Teorema Fundamental del Álgebra).

Los cuaterniones, octoniones y sedeniones pueden ser generados aplicando la construcción de Cayley-Dickson. Las álgebras de Clifford son otra familia de números hipercomplejos..

Representaciones geométricas

Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano, los números hipercomplejos se pueden ver como puntos en algún espacio euclídeo de más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tessarines y cocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los sedeniones).

Otro caso intersante es el de los números hipercomplejos unitarios, que tienen módulo unidad, estos pueden ser representados como n-esferas:

Los cuaterniones unitarios pueden ser representados como $S^{3}$ .
Los octoniones unitarios pueden ser representados como $S^{7}$ .

Estas representaciones están muy ligadas a la posibilidad de caracterizar una n-esfera $S^{n}$ como fibrado de Hopf sobre un espacio base $S^{m}$ con m < n donde cada fibra sea $S^{n-m}$ .

Módulo de un número hipercomplejo

Si como se ha explicado antes los números hipercomplejos se representan por vectores de un espacio euclídeo. Para los números hipercomplejos que lo admiten (todos menos los sedeniones de Cayley-Dickson), el módulo de un número hipercomplejo no es otra cosa que el módulo del vector que los representa. El módulo de un número hipercomplejo |Z| puede calcularse como la raíz del producto del número hipercomplejo por su hipercomplejo conjugado:

$|Z|={\sqrt {Z{\bar {Z}}}}$

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 En [[matemática]], los '''números hipercomplejos''' son una extensión de los [[números complejos]] construidos mediante herramientas del [[álgebra abstracta]], tales como [[cuaterniones]], [[tessarine]]s, [[cocuaterniones]], [[octoniones]], [[bicuaterniones]] y [[sedeniones]].
+== Estructura algebraica ==
-== EstructurEstructura algebraica  [editar]Para ser más precisos, forman álgebras n-dimensionales sobre los números reales. Pero ninguna de estas extensiones forma un cuerpo, principalmente porque el cuerpo de los números complejos está algebraicamente cerrado (ver Teorema Fundamental del Álgebra).
-Los cuaterniones, octoniones y sedeniones pueden ser generados aplicando la construcción de Cayley-Dickson. Las álgebras de Clifford son otra familia de números hipercomplejos..
- Representaciones geométricas  [editar]Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano, los números hipercomplejos se pueden ver como puntoEstructura algebraica  [editar]Para ser más precisos, forman álgebras n-dimensionales sobre los números reales. Pero ninguna de estas extensiones forma un cuerpo, principalmente porque el cuerpo de los números complejos está algebraicamente cerrado (ver Teorema Fundamental del Álgebra).
-Los cuaterniones, octoniones y sedeniones pueden ser generados aplicando la construcción de Cayley-Dickson. Las álgebras de Clifford son otra familia de números hipercomplejos..
- Representaciones geométricas  [editar]Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano, los números hipercomplejos se pueden ver como puntos en algún espacio euclídeo de más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tessarines y cocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los sedeniones).
-Otro caso intersante es el de los números hipercomplejos unitarios, que tienen módulo unidad, estos pueden ser representados como n-esferas:
-Los cuaterniones unitarios pueden ser representados como S3.
-Los octoniones unitarios puedeEstructura algebraica  [editar]Para ser más precisos, forman álgebras n-dimensionales sobre los números reales. Pero ninguna de estas extensiones forma un cuerpo, principalmente porque el cuerpo de los números complejos está algebraicamente cerrado (ver Teorema Fundamental del Álgebra).
-Los cuaterniones, octoniones y sedeniones pueden ser generados aplicando la construcción de Cayley-Dickson. Las álgebras de Clifford son otra familia de números hipercomplejos..
- Representaciones geométricas  [editar]Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano, los números hipercomplejos se pueden ver como puntos en algún espacio euclídeo de más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tessarines y cocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los sedeniones).
-Otro caso intersante es el de los números hipercomplejos unitarios, que tienen módulo unidad, estos pueden ser representados como n-esferas:
-Los cuaterniones unitarios pueden ser representados como S3.
-Los octoniones unitarios pueden ser representados como S7.
-Estas representaciones están muy ligadas a la posibilidad de caracterizar una n-esfera Sn como fibrado de Hopf sobre un espacio base Sm con m < n donde cada fibra sea Sn − m.Estructura algebraica  [editar]Para ser más precisos, forman álgebras n-dimensionales sobre los números reales. Pero ninguna de estas extensiones forma un cuerpo, principalmente porque el cuerpo de los números complejos está algebraicamente cerrado (ver Teorema Fundamental del Álgebra).
-Los cuaterniones, octoniones y sedeniones pueden ser generados aplicando la construcción de Cayley-Dickson. Las álgebras de Clifford son otra familia de números hipercomplejos..
- Representaciones geométricas  [editar]Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano, los números hipercomplejos se pueden ver como puntos en algún espacio euclídeo de más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tessarines y cocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los sedeniones).
-Otro caso intersante es el de los números hipercomplejos unitarios, que tienen módulo unidad, estos pueden ser representados como n-esferas:
-Los cuaterniones unitarios pueden ser representados como S3.
-Los octoniones unitarios pueden ser representados como S7.
-Estas representaciones están muy ligadas a la posibilidad de caracterizar una n-esfera Sn como fibrado de Hopf sobre un espacio base Sm con m < n donde cada fibra sea Sn − m.
- Módulo de un número hipercomplejo  [editar]Si como se ha explicado antes los números hipercomplejos se representan por vectores de un espacio euclídeo. Para los
- Módulo de un número hipercomplejo  [editar]Si como se ha explicado antes los números hipercomplejos se representan por vectores de un espacio euclídeo. Para los
-n ser representados como S7.
-Estas representaciones están muy ligadas a la posibilidad de caracterizar una n-esfera Sn como fibrado de Hopf sobre un espacio base Sm con m < n donde cada fibra sea Sn − m.
- Módulo de un número hipercomplejo  [editar]Si como se ha explicado antes los números hipercomplejos se representan por vectores de un espacio euclídeo. Para los
-s en algún espacio euclídeo de más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tessarines y cocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los sedeniones).
-Otro caso intersante es el de los números hipercomplejos unitarios, que tienen módulo unidad, estos pueden ser representados como n-esferas:
-Los cuaterniones unitarios pueden ser representados como S3.
-Los octoniones unitarios pueden ser representados como S7.
-Estas representaciones están muy ligadas a la posibilidad de caracterizar una n-esfera Sn como fibrado de Hopf sobre un espacio base Sm con m < n donde cada fibra sea Sn − m.
- Módulo de un número hipercomplejo  [editar]Si como se ha explicado antes los números hipercomplejos se representan por vectores de un espacio euclídeo. Para los
-a algebraica ==
 Para ser más precisos, forman [[álgebra sobre un cuerpo|álgebras]] [[dimensión de un espacio vectorial|n-dimensionales]] sobre los [[números reales]]. Pero ninguna de estas extensiones forma un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]], principalmente porque el cuerpo de los números complejos está [[cuerpo algebraicamente cerrado|algebraicamente cerrado]] (ver [[Teorema Fundamental del Álgebra]]).