Función lineal

Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma:

$f(x)=mx+b\,$

donde m y b son constantes.

Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente

$y=mx+b\,$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

• m es denominada la pendiente de la recta.
• b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).

Ejemplo en el plano xy

En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

$y=0,5{x}+1\,$

en esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y= 1

La ecuación:

$y=0,5{x}-1\,$

tiene el valor de la pendiente m= 1/2, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas, como el valor de b= -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y= -1.

La tercera ecuación, es:

$y=2{x}+1\,$

la pendiente de la recta, el parámetro m= 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y la hace en dos unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y= 1, dado que el valor de b= 1.

En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

$m=\tan \theta \,$

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

$f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y\,$

representa un plano y una función

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}\,$

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional. --Nigeriano

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultaneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

Geometría analítica de la recta en el plano

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría, en un plano xy, podemos representar una recta y= mx + b, y determinar las valores de m y de b que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría, veamos algunos casos del empleo del cálculo analítico, aplicado a la geometría:

Rectas que pasan por un punto

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto $(x_{0},y_{0})$.

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

$y=mx+b\,$

Y ha de pasar por el punto $(x_{0},y_{0})$, luego tendrá que cumplirse:

$y_{0}=mx_{0}+b\,$

Despejando b, tenemos esta ecuación:

$b=y_{0}-mx_{0}\,$

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

$y=mx+(y_{0}-mx_{0})\,$

Ordenando términos:

$y=m(x-x_{0})+y_{0}\,$

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto $(x_{0},y_{0})$, el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Recta que pasa por dos puntos

Determinar la recta del plano que pasan por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$.

Como en el caso anterior, la ecuación de la recta es:

$y=mx+b\,$

Y ha de pasar por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ luego tendrá que cumplirse:

$y_{1}=mx_{1}+b\,$

$y_{2}=mx_{2}+b\,$

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

$y_{1}-y_{2}=mx_{1}-mx_{2}\,$

agrupando términos:

$y_{1}-y_{2}=m(x_{1}-x_{2})\,$

despejando m:

$m={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\,$

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$.

Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

$b=y_{1}-mx_{1}\,$

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

$b=y_{1}-{\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x_{1}\,$

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

$y={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x+y_{1}-{\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x_{1}\,$

ordenando términos:

$y={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;(x-x_{1})+y_{1}\,$

Que es una recta en el plano que pasa por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$, como ya se ha dicho.

Una relación curiosa de la ecuación anterior es:

${\cfrac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;\,$

y que dice que la pendiente entre un punto cualesquiera $(x,y)$, de la recta que pasa por dos puntos, y el punto $(x_{1},y_{1})$, es la misma que la que hay entre los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ que definen la recta.

Rectas perpendiculares

Dada una recta:

$y=m_{1}x+b_{1}\,$

Se trata de determinar que rectas:

$y=mx+b\,$

son perpendiculares a la primera.

Sabiendo que:

$m_{1}=\tan(\alpha )\,$

Siendo $\alpha$ el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo $(\alpha +90)$ con la horizontal, por trigonometría sabemos que:

$\tan(\alpha +90)={\frac {-1}{\tan(\alpha )}}$

y si la pendiente de la primera recta es:

$m_{1}=\tan(\alpha )\,$

la de la segunde debe de ser:

$m=\tan(\alpha +90)={\frac {-1}{m_{1}}}\,$

Esto es, dada una recta cualquiera:

$y=m_{1}x+b_{1}\,$

cualquier recta de la forma:

$y={\frac {-1}{m_{1}}}x+b\,$

Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.

Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.

Véase también

• Funciones matemáticas
• Geometría analítica
• Pendiente de una recta

Referencias bibliográficas

1. Larrauri Pacheco, Agustín (7 de 1998). Matemáticas, 2 ESO (1 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 304. ISBN 978-84-8142-033-3. 
2. Larrauri Pacheco, Agustín (4 de 1997). Matemáticas, 3 ESO (1 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 360. ISBN 978-84-8142-023-4. 
3. Larrauri Pacheco, Agustín (3 de 1997). Matemáticas, FP 1 (10 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 496. ISBN 978-84-85207-79-4. 
4. Larrauri Pacheco, Agustín (8 de 1989). Ejercicios de matemáticas : FP 1 (1 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 480. ISBN 978-84-85207-81-7. 
5. Álvarez Areces, Santiago; Fernández Flórez, Manuel (6 de 1990). Matemáticas, área formativa común, 1 FP, 1 grado (1 edición). Editorial Everest, S.A. p. 432. ISBN 978-84-241-7220-6. 
6. Checa (2 de 1989). Matemáticas : 1 FP, 1 curso (1 edición). p. 286. ISBN 978-84-348-2667-0. 

Enlaces externos

• Funciones polinómicas de primer grado: rectas
• Funciones polinómicas de primer grado
• Función Polinómica.