Lógica modal

La lógica modal, dentro de la lógica, se ocupa de enunciados afectados por modalidades del tipo "posiblemente" y "necesariamente". La lógica modal es intencional, en el sentido de que el valor de verdad de un enunciado que contiene expresiones modales no depende exclusivamente del valor de verdad de sus enunciados componentes.

La lógica modal experimenta un gran auge tras los trabajos fundacionales sobre semántica modal de Saul Kripke en los sesenta. La lógica y semántica modal representan gran variedad de nociones: epistémicas ('conocer que'), de creencia ('creer que'), morales ('es obligatorio' o 'es permisible'), temporales ('sucederá en el futuro' o 'siempre sucedió en el pasado') e incluso estados de un programa en informática teórica.

Historia

La lógica modal es tan antigua como la Lógica de Aristóteles y tuvo gran desarrollo durante la Edad Media. La lógica modal contemporánea surge a principios del siglo XX como una reacción a la lógica clásica que maduró en las obras de Gottlob Frege (Conceptografía) por un lado, y Russell y Whitehead (Principia Mathematica) por el otro. Los patrones de razonamiento válidos, aquellos que indican una relación de consecuencia lógica entre un conjunto de enunciados –premisas– y otro enunciado –conclusión– en un argumento, están en parte determinados por cuáles sean las constantes lógicas. En la lógica clásica los siguientes patrones de razonamiento son válidos ('→', y '~' se leen, respectivamente, 'Si... entonces' y 'no'; '$\models$' expresa la relación de consecuencia lógica):

1. q $\models$ (p → q)
2. ~p $\models$ (p → q)
3. (p → q) y (r → s)) $\models$ ((p → s) o (r → q))
4. ((p y q) → r) $\models$ ((p → r) o (q → r))
5. ~(p → q) $\models$ p

Estos patrones de razonamiento dan lugar a argumentos "raros" o poco naturales si entendemos que el condicional '→' que aparece en ellos pretende recoger el significado del condicional del lenguaje natural (el castellano en el caso presente). Por ejemplo, los siguientes argumentos serían válidos:

3*) Si hoy es lunes entonces mañana es martes y si hoy es miércoles entonces mañana es jueves. Por lo tanto, o bien, si hoy es lunes entonces mañana es jueves, o bien, si hoy es miércoles entonces mañana es martes.

5*) No es el caso que si Dios existe entonces castigará a los buenos. Por lo tanto, Dios existe.

De 5* uno no diría que tiene premisas verdaderas y conclusión falsa, pero como mínimo parece extraño que podamos probar la existencia de Dios de un modo tan sencillo a partir de una premisa tan plausible (¡no parece que haya una relación de consecuencia lógica entre la premisa y la conclusión!).

En 1912 C. I. Lewis publica "Conditionals and the Algebral of Logic", justo después de Principia Mathematica de Russell. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en donde propone un nuevo condicional más adecuado para recoger el significado del 'Si ... entonces' del lenguaje natural. Lewis lo llama implicación estricta –el nombre de 'implicación' en lugar de condicional es un mal hábito adquirido de Russell que Quine empleará para afirmar que la lógica modal fue «concebida en pecado». El nuevo condicional requiere, para ser verdadero, una relación más fuerte entre el antecedente y el consecuente que el condicional clásico. Lewis define su condicional estricto en términos del condicional clásico más la noción de necesidad ($\Box$):

'p condicional estricto q' ssi $\Box$(p → q)

De 1918 a 1932 Lewis prepara la segunda edición del Survey. Durante este período surgen multitud de trabajos sobre el tema. Becker desvía la atención del análisis de las conectivas tipo "condicional estricto" a las propias nociones modales: son éstas las que requieren clarificación. Existen, al menos, tres factores que hicieron que la lógica modal tuviera "mala prensa" en la primera mitad del siglo XX. En primer lugar, la interpretación clásica de la consecuencia lógica eliminaba las nociones modales en favor de una visión formalista. En segundo lugar, a diferencia del caso de la lógica clásica (que fue axiomatizada de un modo completo por Frege), las nociones modales dieron lugar a distintos sistemas axiomáticos. En tercer lugar, la lógica modal se desarrolló sin un análisis semántico. A esto se suman las críticas de Quine que comienzan en los años treinta. El trabajo de Saul Kripke en los años sesenta (1963: ‘Semantical Analysis of Modal Logic, I: Normal Propositional Calculi’, 1965: ‘Semantical Analysis of Modal Logic, II: Non-Normal Modal Propositional Calculi’, 1965: ‘Semantical Analysis of Intuitionistic Logic I’) fue decisivo para el desarrollo del estudio de la lógica modal. Kripke aportó la herramienta básica para el análisis semántico de la lógica modal: la semántica de mundos posibles. La semántica de mundos posibles es una herramienta para el análisis de una colección importante de expresiones: modales, temporales, doxásticas, epistémicas, deónticas, entre otras. Además, la semántica modal permite interpretar una gran variedad de lógicas no-clásicas como el intuicionismo.

Lenguaje y Lógica

Lenguaje

El lenguaje de la lógica (proposicional) modal puede verse como una extensión del lenguaje (proposicional) clásico (ver lógica proposicional).

Alfabeto

Al alfabeto clásico se le añaden dos operadores monádicos sobre oraciones '$\Box$' (informalmente: 'es necesario que') y '$\Diamond$' (informalmente: 'es posible que'). En realidad sólo es necesario tomar uno como primitivo ya que son interdefinibles (En particular, se dice que son 'duales': $\Box$p ssi ~$\Diamond$~p).

Gramática

La gramática nos indica qué secuencias de signos del vocabulario son susceptibles de tener significado (a estas las llamamos Fórmulas Bien Formadas, abreviado FBF). La gramática es igual a la clásica, añadiendo una regla para los operadores modales:

R1: Si α es una letra de oración aislada, α es una FBF.

R2: Si α es una FBF, Ma es una FBF.

R3: Si α y β son FBF, (αΔβ) es una FBF.

R4: Cualquier expresión construida de otro modo no es FBF.

α y β son metavariables para hablar de secuencias de signos, más adelante se utilizarán como metavariables para hablar de FBFs. M una metavariable para operadores monádicos (negación y modales) y Δ una metavariable para operadores diádicos.

El conjunto de FBFs así descrito es unívocamente legible, de modo que podremos definir las condiciones de verdad de los operadores a través de definiciones inductivas sobre este conjunto. Las fórmulas de nuestro lenguaje tendrán este aspecto:

$\Diamond$(p → $\Box$q)

~($\Diamond$p $\land$ ~p)

$\Box$(p $\lor$ ~p)

A menudo se conviene en omitir los paréntesis externos, si los hay.

Semántica

En el lenguaje proposicional clásico una interpretación para una fórmula α consiste en una asignación de valores de verdad (consistente y completa) para todas las variables proposicionales que aparecen en α. En el lenguaje modal las asignaciones de valores de verdad son relativas a 'mundos posibles'. Una interpretación para el lenguaje modal es una tripla (un conjunto ordenado de tres elementos) <W, R, ν>, en el que W es un conjunto de objetos, R una relación en W y ν una función que asigna valores de verdad a pares 'p, w' en los que p es cualquier variable proposicional y w cualquier objeto en W.

Intuitivamente, los objetos en W son mundos posibles. R es una relación de accesibilidad entre mundos posibles, es decir, objetos de W.

Intuitivamente, R expresa una posibilidad relativa. En principio, no todo lo que es posible en un mundo es posible en otro mundo. Supongamos tres situaciones: w0, w1 y w2. w0 es la situación actual, en la que el ministro Sr. x ha participado en un acto de corrupción (que necesariamente había de ser descubierto) y ha quedado destituido del cargo. w1 es una situación anterior en la que el Sr. x se estaba pensando el participar en el acto de corrupción y w2 es una situación exactamente igual a la actual excepto en que el Sr. x no ha participado en el acto de corrupción y no ha sido destituido. Hay un sentido del término 'posible' en el que el enunciado 'Es posible que el Sr. x no sea destituido' es verdadero en w1 pero no en w0. De modo que w2 es un mundo posible relativo a w1, pero no relativo a w0. Expresamos esta posibilidad relativa diciendo que w1Rw2 (w2 es accesible desde w1), pero no w0Rw2.

ν es una función que asigna valores de verdad a pares 'p, w' en los que p es cualquier variable proposicional y w cualquier objeto en W; es decir, para cada variable proposicional p y para cada mundo posible w, ν asigna a p un único valor de verdad en ese mundo posible. Expresaremos esto diciendo que para cada w en W y cada variable proposicional p, νw(p) = V o νw(p) = F.

Los mundos posibles no juegan ningún papel sustancial en la definición de los operadores lógicos no-modales, salvo que las condiciones de verdad se definen relativamente a mundos posibles:

νw(~α) = V si νw(α) = F; F en cualquier otro caso.

νw(α $\land$ β) = V si νw(α) = V y νw(β) = V; F en cualquier otro caso.

En palabras: ~α es verdadero en un mundo posible w cuando α es falso en ese mundo posible y falso en caso contrario. (α $\land$ β) es verdadero en un mundo posible w cuando ambos son verdaderos en ese mundo posible y falso en caso contrario. El resto de operadores clásicos se define de modo análogo.

Los mundos posibles juegan un papel en las condiciones de verdad de los operadores modales:

νw($\Box$α) = V si para todo mundo posible w* tal que wRw* νw*(α) = V; F en cualquier otro caso. νw($\Diamond$α) = V si hay algún mundo posible w* tal que wRw* y νw*(α) = V; F en cualquier otro caso.

En palabras: $\Box$α es verdadero en un mundo posible w cuando para todo mundo accesible desde w, α toma el valor verdadero y falso en caso contrario. $\Diamond$α es verdadero en un mundo posible w cuando hay al menos un mundo posible accesible desde w en el que a es verdadero.

Hay un detalle importante acerca de las condiciones de verdad de los operadores modales que puede no resultar obvio. Si desde un mundo posible w no se puede acceder a ningún otro mundo posible, entonces todas las fórmulas de la forma $\Box$α son verdaderas en w mientras que las de la forma $\Diamond$α son todas falsas en w. Las condiciones de verdad de '$\Box$' no requieren la existencia de un mundo posible, ya que 'todo mundo posible w* tal que wRw* νw*(a) = V' es equivalente a 'no hay ningún mundo posible tal que wRw* y ν(a) = F', es decir, todo lo que se requiere para que $\Box$α sea verdadero en w es que no haya un mundo accesible desde w en el que α sea F. Por otro lado las condiciones de verdad de '$\Diamond$' requieren la existencia de un mundo posible; es decir, para que $\Diamond$α sea V en w, debe haber un mundo accesible desde w en el que α es V. Si desde w no se accede a ningún mundo, $\Diamond$α será falso en w.

Consecuencia lógica y Deducción

Dentro de los lenguajes lógicos podemos distinguir dos tipos de relaciones de consecuencia entre conjuntos de oraciones y oraciones, la consecuencia lógica y la deducibilidad. La relación de consecuencia lógica es una relación semántica en el sentido de que es una relación entre un conjunto de oraciones en interpretaciones y una oración en esas interpretaciones. La relación de deducibilidad es una relación sintáctica porque queda caracterizada por un conjunto de reglas (un sistema deductivo) que atienden solamente a la forma de las oraciones. Se entiende habitualmente que la relación de consecuencia lógica es más básica (aunque esto está sujeto a cierto debate) y que el objetivo de un sistema deductivo es caracterizar en términos puramente sintácticos la relación de consecuencia lógica. Un sistema deductivo caracteriza de un modo satisfactorio la consecuencia lógica cuando nos permite deducir sólo consecuencias lógicas (se dice entonces que el sistema es consistente o correcto, en inglés sound) y todas las consecuencias lógicas (se dice que es completo, en inglés complete).

En lógica clásica hay una sola relación de consecuencia lógica y distintos sistemas deductivos para caracterizarla (sistemas axiomáticos, tableaux, deducción natural, sistemas de Gentzen, entre otros). Esto no es así en lógica modal. En lógica modal hay distintos sistemas modales que caracterizan distintas relaciones de consecuencia lógica. En este sentido más que de Lógica modal debería hablarse de Lógicas modales. En primer lugar introduciremos una definición general de consecuencia lógica. En segundo lugar el sistema modal básico llamado K (en honor a Kripke). Después indicaremos cómo modificar los sistemas modales y cuáles son sus correspondientes relaciones de consecuencia lógica.

Consecuencia lógica

La consecuencia lógica está ligada a la noción de verdad; que un argumento es válido quiere decir que preserva necesariamente la verdad. En lógica modal la verdad es relativa a mundos posibles (un fórmula es verdadera en una interpretación en un mundo posible) de modo que la consecuencia lógica también será relativa a mundos posibles: un argumento será válido justo cuando, si sus premisas son todas verdaderas en un mundo posible, su conclusión es verdadera en ese mundo posible. Por otro lado, suele entenderse la necesaria preservación de verdad como preservación de verdad en toda interpretación. Por tanto, un argumento es válido en nuestro lenguaje modal cuando preserva la verdad en todos los mundos posibles en toda interpretación:

Definición: Γ $\models$ α si y sólo para toda interpretación <W, R, ν> y todo mundo posible w en W: si νw(γ) = V para todo γ en Γ, entonces νw(α) = V.

Deducción

Un sistema deductivo es un conjunto de reglas que nos permite establecer afirmaciones de consecuencia entre un conjunto de oraciones y una oración atendiendo solamente a su forma. Cuando α es una consecuencia deductiva de Γ en un sistema deductivo S se suele escribir 'Γ$\vdash$α en S'. El tipo de sistemas deductivos tradicionales en lógica modal son los sistemas axiomáticos. Un sistema axiomático es un conjunto de enunciados del lenguaje (o formas de enunciados si contienen metavariables) y un conjunto de reglas de inferencia. Una consecuencia deductiva de un sistema axiomático es, o bien un axioma, o bien un enunciado que puede obtenerse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia. El sistema axiomático básico para la lógica modal tiene este aspecto:

Axiomas:

(PC): Si α es una fórmula clásicamente válida, entonces α es un axioma

(K) $\Box$(α → β) → ($\Box$α → $\Box$β)

Reglas:

(MP) Si (α → β) y α son deducibles, también lo es β.

(N) Si α es deducible, $\Box$α también es deducible.

Los axiomas son 'formas de axiomas', porque expresiones como α y β no son parte de nuestro vocabulario y no son, por tanto, enunciados de nuestro lenguaje. Estos axiomas indican qué enunciados de nuestro lenguaje son considerados axiomas. (PC) tiene más bien la forma de una regla para obtener axiomas; indica que enunciados como (p $\lor$ ~p) son axiomas de nuestro sistema.

La regla (MP) se conoce como Modus Ponens y la regla (N) como Necessitation. La relación de deducibilidad en K (es decir, todo aquello que es deducible en K), queda de este modo definida por los axiomas y las reglas.

Como comentamos al inicio de esta sección, la deducibilidad en los distintos sistemas modales caracteriza diversas relaciones de consecuencia lógica. El sistema modal K es considerado básico porque la deducción en K caracteriza (es consistente y completo respecto a) la consecuencia lógica en todas las interpretaciones (normales). Por tanto:

Γ $\vdash$α en K ssi Γ$\models$α para toda interpretación <W, R, ν>

Variedad de sistemas modales

El modo 'natural' de obtener nuevos sistemas modales es añadiendo a la lista de axiomas nuevos enunciados que no estén en la lista ni sean deducibles de la lista con ayuda de las reglas de inferencia. Veremos en primer lugar que varios sistemas modales se pueden obtener a partir de K con este procedimiento. Veremos también la relación de consecuencia lógica que caracteriza la deducibilidad en cada uno de estos sistemas modales. Sin embargo, algunos de los sistemas propuestos por Lewis para el condicional estricto son más débiles que K. En particular, en ellos falla la regla de Necesitación. La estrategia semántica para el fallo de esta regla consiste en la introducción de mundos no-normales; esto se verá en segundo lugar.

Axiomas y Restricciones en R

Un buen número de sistemas modales se obtienen simplemente añadiendo axiomas a la lista de axiomas en K. Por ejemplo, el sistema T, se obtiene añadiendo a K el axioma:

(T) $\Box$α → α

La relación de consecuencia lógica caracterizada por la deducibilidad en T (respecto a la cual T es consistente y completo) es la consecuencia lógica en la clase de interpretaciones en las que la relación de accesibilidad es reflexiva. Es decir, la clase de todas las interpretaciones <W, R, ν> en las que R es reflexiva (todo mundo w en W es accesible desde sí mismo: wRw). Por tanto, la adición del axioma T a K da lugar a un sistema que es completo y consistente respecto a todas las interpretaciones en que R es reflexiva:

Γ $\vdash$α en T ssi Γ$\models$α para toda interpretación <W, R, ν> en la que R es reflexiva

Otros sistemas modales se obtienen a través de la adición de axiomas y sus respectivas consecuencias lógicas a través de la adición de restricciones sobre R. Algunos de los axiomas más conocidos con sus respectivas restricciones sobre R:

D: $\Box$α → $\Diamond$α $\Rightarrow$ R es serial (para todo w en W hay un w* en W tal que wRw*)

4: $\Box$α → $\Box \Box$α $\Rightarrow$ R es transitiva (para todo w, w* y w** en W si wRw* y w*Rw** entonces wRw**)

B: α → $\Box \Diamond$α $\Rightarrow$ R es simétrica (para todo w y w* en W si wRw* entonces w*Rw)

5: $\Box$α → $\Box \Diamond$α $\Rightarrow$ R es euclídea (para todo w, w* y w** en W si wRw* y wRw** entonces w*Rw**)

La adición de uno o varios axiomas de esta a lista a K da lugar a algunos de los sistemas modales más conocidos:

Sistema D: K + D

Sistema T: K + T

Sistema S4: K + T + 4

Sistema B: K + T + B

Sistema S5: K + T + 5

(Esta lista no pretende ser exhaustiva. Hay más axiomas modales y más combinaciones posibles!)

Atendiendo a los axiomas podemos ver cuál es la relación de consecuencia que caracterizan. Por ejemplo, S4 es consistente y completo respecto a las interpretaciones en que R es reflexiva y transitiva., S5 respecto a las interpretaciones en que R es reflexiva y euclídea (= relación de equivalencia). El método axiomático tiene ciertas ventajas. Por ejemplo, se puede ver fácilmente cuál es la relación entre sistemas modales. Se dice que un sistema modal B es una extensión de otro sistema modal A, cuando todas las deducciones que se pueden realizar en A se pueden realizar en B. Se dice que B es una extensión propia de A cuando B es una extensión de A y A no es una extensión de B (es decir, hay deducciones en B que no hay en A). El método axiomático tiene la ventaja de mostrar de un modo claro algunas relaciones entre sistemas modales. Por ejemplo, es evidente que como el sistema T se obtiene añadiendo un axioma a K, T es una extensión de K. Para ver que T es una extensión propia de K, sólo tenemos que comprobar que el axioma T no es deducible K.

Existen otros métodos a este propósito como los tableaux o tablas analíticas. El método axiomático tiene la desventaja de que resulta difícil para el no-iniciado establecer afirmaciones de deducción mientras que las tablas analíticas aportan un procedimiento algorítmico con el que resulta muy sencillo construir las pruebas. Por otra parte, las pruebas de completud y consistencia con las tablas analíticas son extremadamente sencillas en comparación con las pruebas que emplean sistemas axiomáticos. El libro de Graham Priest (2001) es una buena introducción a las lógicas modales (entre otras lógicas no clásicas) que emplea las tablas analíticas.

Mundos No-Normales

Algunos de los sistemas de Lewis propuestos para su implicación estricta son más débiles que el sistema modal K. Para obtener una semántica para sistemas modales más débiles que K se inventó la noción de mundo no-normal (introducido por Kripke en 1965). Un mundo no-normal es un mundo en el que las condiciones de verdad de los operadores modales son distintas: un enunciado del tipo $\Diamond$α es siempre verdadero en un mundo no-normal, mientras que $\Box$α es siempre falso. En los mundos no-normales todo es posible y nada es necesario.

Una interpretación no-normal para un lenguaje proposicional modal es una estructura <W, N, R, ν> donde W, R y ν son como antes y N es un subconjunto de W. N es el conjunto de mundos normales en la interpretación; el resto (si los hay) son los mundos no-normales. Las condiciones de verdad de los operadores lógicos son igual que antes; sólo varían las condiciones de los operadores modales en mundos no-normales. Si w es no-normal:

νw($\Diamond$α) = V.

νw($\Box$α) = F.

A partir de interpretaciones no-normales podemos obtener semánticas para sistemas modales más débiles que K. Podemos definir, por ejemplo, la relación de consecuencia lógica como preservación de verdad sobre mundos normales:

Definición: Γ $\models$ α si y sólo para toda interpretación <W, N, R, ν> y todo mundo posible w en N: si νw(γ) = V para todo en Γ, entonces νw(α) = V.

La lógica que obtenemos si permitimos que R sea una relación binaria cualquiera en W (que llamaremos N) es más débil que K. El hecho más singular de las interpretaciones no-normales es que la regla de Necesitación, que era correcta en K y todas sus extensiones, deja de ser correcta. Las fórmulas lógicamente válidas de la lógica clásica, por ejemplo p $\lor$ ~p, son verdaderas en todo mundo posible (normal o no). Por tanto, tenemos que en N $\models$ p $\lor$ ~p. Más aún, dado que la consecuencia lógica se define sobre mundos normales, tenemos que $\models$ $\Box$(p $\lor$ ~p), ya que p $\lor$ ~p sera verdadera en todo mundo accesible desde un mundo normal. Sin embargo, $\Box$$\Box$(p $\lor$ ~p) no es verdadera en todo mundo normal, ya que este puede acceder a un mundo no-normal, en donde $\Box$(p $\lor$ ~p) sera falsa.

Véase también

• Lógica proposicional
• Lógica de primer orden
• Lógica temporal
• Cálculo
• Cálculo lógico
• Lenguaje formalizado