Mediatriz

figura 1

Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Éstas se cortan en un punto que se denomina circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo.

En conclusión, la mediatriz es la mitad de x figura.

Demostración

En efecto, sea $AB$ el segmento determinado por los puntos $A$ y $B$ (véase la figura 1). Sea $M$ el punto medio del segmento y $r$ la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea $P$ un punto sobre la recta $r$. En la simetría axial respecto de la recta $r$, el punto $P$ es invariante y los puntos $A$ y $B$ son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento $AP$ se transforma en el segmento $BP$, ambos segmentos son congruentes y el punto $P$ equidista de los puntos $A$ y $B$. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta $r$ pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

figura 2

Recíprocamente, (véase figura 2) sea $AB$ un segmento y sea $P$ un punto que equidista de $A$ y de $B$, esto es que los segmentos $AP$ y $BP$ son iguales. Consideremos la bisectriz $r$ del ángulo $APB$ y sea $M$ la intersección de dicha bisectriz con el segmento $AB$. Por construcción, los ángulos $APM$ y $BPM$ son iguales y en la simetría axial respecto de la recta $r$ se transforman uno en el otro. Como los segmentos $PA$ y $PB$ son iguales, en esta simetría, los puntos $A$ y $B$ son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto $M$ es punto medio del segmento $AB$ y que dicho segmento es perpendicular a la recta $r$.

Aplicación

En el triángulo ABC se dibujaron sus tres mediatrices y se marcó el circuncentro O. Luego se trazó la circunferencia de centro O y de radio OA, circunscrita al triángulo. Como O es el circuncentro del triángulo ABC, entonces OA = OB = OC.

En este caso, el circuncentro quedó dentro del triángulo, ya que éste es acutángulo; pero si fuera obtusángulo, el circuncentro quedaría fuera de él; y si fuera rectángulo, quedaría en el punto medio de la hipotenusa.

Véase también

• Circuncentro