Matriz de adjuntos

Dada una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus adjuntos respectivos.

El adjunto de un término a_{i j} de la matriz A resulta del determinante de la submatriz que se obtiene de eliminar de la matriz A, la fila y la columna a la que pertenece el término a_{i j}, multiplicado por (-1)^(i+j). El interés principal de la matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )^{T}$

Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método de eliminación de Gauss.

Definición y fórmulas de cálculo

Dada una matriz $\scriptstyle \mathbf {A}$ su matriz de adjuntos es la única matriz $\scriptstyle \mathbf {B}$ tal que:​

$\mathbf {A} \mathbf {B} ^{T}=\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I}$

Esta definición no permite calcular directamente la matriz de adjuntos por lo que comúnmente se define también la matriz de adjuntos mediante la siguiente fórmula explícita. Dadas las componentes explícitas de la matriz: $(a_{ij})=\mathbf {A} \in M_{n\times n}$ para cada i y j se define la matriz ${\tilde {\mathbf {A} }}(i,j)$ como la matriz de orden $\scriptstyle (n-1)$ obtenida a partir de $\mathbf {A}$ eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima. Y se define la cantidad:

$d_{ij}=(-1)^{i+j}\det {\tilde {\mathbf {A} }}(i,j)$

Y se tiene que estas son precisamente las componentes de la matriz de adjuntos ya que, es decir, ${\mbox{adj}}(\mathbf {A} )=(d_{ij})\,$

Matrices 2x2

Dada una matriz de 2x2;

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}},$

Su matriz de adjuntos viene dada por:

${\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{21}\\-A_{12}&A_{11}\end{pmatrix}},$

Matrices 3x3

Dada una matriz de 3x3:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}},$

Su matriz de adjuntos viene dada por:

${\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{23}A_{32}-A_{21}A_{33}&A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}\\A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}\\A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}$

Para matrices de 3x3 también puede usarse la siguiente fórmula:

$[{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )]_{ij}={\frac {1}{2}}\epsilon _{mni}\ \epsilon _{pqj}\ a_{mp}a_{nq}$

Ejemplo

Un ejemplo sería el siguiente:

$\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}2&1&0\\1&-1&1\\0&2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&1&2\\1&-2&-4\\1&-2&-3\end{pmatrix}}$

Matrices nxn

Para matrices con n grande el costo computacional del cálculo de adjuntos es grande. Por lo que si el objetivo es calcular la inversa de una matriz se recurre a otros algoritmos de cálculos que no impliquen calcular primero la matriz de adjuntos. Para el cálculo de la matriz de adjuntos en el caso general puede emplearse la siguiente fórmula:

$[{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )]_{ij}={\frac {1}{(n-1)!}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}i}\epsilon _{j_{1}\dots j_{n-1}j}a_{i_{1}j_{1}}a_{i_{2}j_{2}}\dots a_{i_{n-1}j_{n-1}}$

Propiedades

• Dada una matriz $\mathbf {A} =(a_{ij})\in M_{n\times n}$ definiendo $\mathbf {B} =(b_{ij})={\mbox{adj}}(A)$ puede probarse que las $b_{ij}\,$ pueden escribirse como suma de monomios de grado n en las componentes $a_{ij}\,$. Eso hace que a medida que n aumenta el cálculo de la matriz de adjuntos por aplicación de fórmulas directas sea complicado, llegando a ser computacionalmente muy costoso.
• Si consideramos la operación de buscar la matriz de adjuntos como una función: ${\mbox{adj}}:M_{n\times n}\to _{n\times n}$ resulta que esa función es continua. Esto puede verse a partir de la continuidad de la función determinante. Además se tienen otras propiedades interesantes:
  • ${\mbox{adj}}(\mathbf {A} ^{T})={\mbox{adj}}(\mathbf {A} )^{T}$
  • ${\mbox{adj}}(\mathbf {A} \mathbf {B} )={\mbox{adj}}(\mathbf {A} ){\mbox{adj}}(\mathbf {B} )={\mbox{adj}}(\mathbf {B} \mathbf {A} )$
  • ${\mbox{adj}}(\mathbf {I} )=1$
  • ${\mbox{adj}}(\lambda \mathbf {A} )=\lambda ^{n-1}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )$ para $\mathbf {A} \in M_{n\times n}$.
  • ${\mbox{adj}}({\mbox{adj}}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-1}\mathbf {I}$ para $\mathbf {A} \in M_{n\times n}$.
  • $\det(\mathbf {A} )={\mbox{tr}}(\mathbf {A} \ {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ))/n$ para $\mathbf {A} \in M_{n\times n}$.
  • $\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}\,$.

Si p(t) = det(A − tI) es el polinomio característico de A y definimos el polinimio q(t) = (p(0) − p(t))/t, entonces:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})$

Donde $p_{j}\,$ son los coeficientes de p(t):

$p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}.$

La función adjunta también aparece en la fórmula de la derivada del determinante:

$\det(\mathbf {A+H} )-\det(\mathbf {A} )={\mbox{tr}}(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {H} )+o(\|\mathbf {H} \|)={\mbox{tr}}({\mbox{adj}}(\mathbf {A} )\ \mathbf {H} )+o(\|\mathbf {H} \|)$