Covarianza

En estadística la covarianza es una medida de dispersión conjunta de dos variables estadísticas.

Definición

La covarianza $S(X,Y)$ de dos variables aleatorias $X$ e $Y$ se define como:

$S_{xy}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}$

• Si $S_{xy}>{0}$ hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y.
• Si $S_{xy}={0}$ Una covarianza 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas.
• Si $S_{xy}<{0}$ hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores de y.

La matriz de covarianza $\Sigma _{XY}$ de dos variables aleatorias n-dimensionales expresadas como vectores columna $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})^{t}$ e $Y=(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{t}$ se define como:

$S_{XY}={\operatorname {E} ([X-\operatorname {E} (X)][Y-\operatorname {E} (Y)]^{t})}$

donde $\operatorname {E} (\cdot )$ es el operador esperanza.

Propiedades

1. Si a todos los valores de la variable x, les sumamos una constante k y a todos los valores de la variable y, les sumamos una constante k’, la covarianza no varía.
2. Si a todos los valores de una variable x los multiplicamos por una constante k y a todos los valores de la variable y, los multiplicamos por una constante k’, su covarianza queda multiplicada por el producto de las constantes.
3. A partir de las anteriores: si tenemos dos variables x, y con la covarianza $S_{xy}$, y transformaciones lineales de las variables de la forma z=ax+b, y t=cy+d, la nueva covarianza se relaciona con la anterior de la forma: $S_{zt}=acS_{xy}$.
4. $Cov(x,y)=Cov(y,x)$

Véase también

• Regresión lineal
• Correlación
• ANOVA
• Varianza