Distribución binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

$X\sim B(n,p)\,$

La distribución Binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Ejemplos

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

• Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número de treses obtenidos: X ~ B(10, 1/6)

Experimento Binomial

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Este tipo de experiencias se caracteriza por estar formada por un número predeterminado n de experimentos iguales. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se nota B(n,p).

Características analíticas

Su función de probabilidad está dada por:

$\!f(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}\,\!$

donde $x=\{0,1,2,\dots ,n\}$

, siendo $\!{n \choose x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\,\!$ las combinaciones de $n\,\!$ en $x\,\!$ ($n\,\!$ elementos tomados de $x\,\!$ en $x\,\!$)

Propiedades características

$\mathbb {E} [X]=np\,$

${\text{Var}}[X]=np(1-p)\,$

Relaciones con otras variables aleatorias

Se verifica que si $\{X_{i}\}_{i=1,...n}\,\!$ son tales que cada una sigue una distribución Bernouilli de parámetro $\theta \,\!$, y todas ellas son independientes entre sí, entonces $\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,\!$ resulta ser una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros $n,\theta \,\!$.

Además, si $n$ es grande y $\theta \,\!$ es pequeño, de modo que el producto entre ambos parámetros tiende a $\lambda \,\!$, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro $\lambda \,\!$

Por último, se cumple que cuando n es muy grande (n>=30) la distribución binomial se aproxima a la distribución normal.

Propiedades reproductivas

Dadas n variables aleatorias $X_{i}\,\!$, tales que:

• todas tienen una distribución binomial;
• todas tienen el mismo parámetro $\theta \,\!$;
• cada una tiene su propio parámetro $n_{i}\,\!$ (es decir, los n no necesariamente tienen que ser iguales);
• son todas independientes entre sí;
• se toma la variable aleatoria $Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,\!$;
• se toma $n_{Y}=\sum _{i=1}^{n}n_{i}\,\!$;

Entonces:

La variable aleatoria Y tiene una distribución Binomial, con parámetros $n_{Y}\,\!$ y $\theta \,\!$.

Por lo tanto, dadas n variables binomiales independientes, de parámetros n_i, i = 1, ..., n y $\theta \,\!$, su suma es también una variable binomial, de parámetros n₁+ ... + n_n y $\theta \,\!$.