Conjuntos disjuntos

En matemáticas, se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.

Definición formal

Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío; es decir, si

$A\cap B=\varnothing .\,$

Esta definición se extiende a cualquier colección de conjuntos. Los conjuntos de una tal colección son disjuntos por pares o mutuamente disjuntos si cualquier par de conjuntos distintos de ella son disjuntos.

Formalmente, sea A_i un conjunto para cada i ∈ I (donde I es cualquier conjunto). La familia de conjuntos {A_i | i ∈ I} es disjunta por pares si para cada i, j ∈ I, con i ≠ j,

$A_{i}\cap A_{j}=\varnothing .\,$

Por ejemplo, la colección de conjuntos { {1}, {2}, {3},... } es disjunta por pares.

Si la colección {A_i} es disjunta por pares, su intersección es obviamente vacía:

$\bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing .$

La implicación inversa no es, sin embargo, cierta: la intersección de la colección {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} es vacía, pero la colección no es disjunta por pares; no hay, de hecho, dos conjuntos disjuntos en ella.

Una partición de un conjunto X es una colección de subconjuntos no vacíos {A_i | i ∈ I} de X, disjuntos por pares, tales que

$\bigcup _{i\in I}A_{i}=X.\,$