Partición de un conjunto

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Partición del círculo en 6 partes {A1, ... , A6}.

En matemáticas, una partición de un conjunto es una división del mismo en subconjuntos disjuntos no vacíos.

Definición[editar]

Una partición de un conjunto es una división del mismo en «trozos» separados y no vacíos. Esta división se representa mediante una colección o familia de subconjuntos de dicho conjunto que lo recubren.

Una partición del conjunto A es una familia P de subconjuntos no vacíos de A, disjuntos dos a dos, cuya unión es A. Es decir, P = {Ai: i I }, donde se cumple:

  • Para cada i I, Ai A y Ai
  • Para cada par ij, Ai Aj =
  • i I Ai = A

El concepto de partición es equivalente al de relación de equivalencia: toda relación de equivalencia sobre un conjunto A define una partición de A, y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una clase de equivalencia de la relación.

Ejemplos
  • Dado un conjunto no vacío X arbitrario, la familia P = {X} es una partición de X.
  • Un conjunto con un sólo elemento {x} tiene como única partición a P = { {x} }.
  • El conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones:
    • { {1}, {2}, {3} }
    • { {1, 2}, {3} }
    • { {1, 3}, {2} }
    • { {1}, {2, 3} }
    • { {1, 2, 3} }

Número de particiones[editar]

El número de particiones posibles para un conjunto finito solo depende de su cardinal n, y se llama el número de Bell Bn. Los primeros números de Bell son B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203, ...

Referencias[editar]

Véase también[editar]