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En matemáticas , un espacio de Schwartz es un espacio funcional de funciones de decrecimiento rápido . Este tipo de espacio tiene la propiedad interesante de que la transformada de Fourier es un automorfismo de este espacio. Esta propiedad gracias a la propiedad de dualidad, permite extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generalizadas pertenecientes al espacio dual
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
del espacio de Schwartz.
Este tipo de espacios se nombra así en honor a Laurent Schwartz . Una función del espacio de space se llama a veces función de Schwartz .
Una función gausiana bidimensional es un ejemplo de función de decrecimiento rápido, y por tanto, un elemento del espacio de Schwartz.
Definición
El espacio de Schwartz o espacio de funciones de decrecimiento rápido
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
definido sobre el espacio euclídeo
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
es el conjunto de funciones:
S
(
R
n
)
=
{
f
∈
C
∞
(
R
n
)
∣
∀
α
,
β
:
‖
f
‖
α
,
β
<
∞
}
,
{\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mid \forall \,\alpha ,\beta :\ \|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \},}
Donde:
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta \,}
son multíndices (conjuntos ordenados de índices).
C
∞
(
R
n
)
{\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
es el conjunto de funciones reales suaves sobre
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
.
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
es una norma definida a partir de la norma del supremo como:
‖
f
‖
α
,
β
:=
‖
x
α
D
β
f
‖
∞
=
sup
x
∈
R
n
|
x
i
1
α
1
…
x
i
m
α
m
∂
|
β
|
f
∂
x
j
1
β
1
…
x
j
k
β
k
|
{\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }:=\|x^{\alpha }D^{\beta }f\|_{\infty }=\sup _{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}\left|x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}\ldots x_{i_{m}}^{\alpha _{m}}{\frac {\partial ^{|\beta |}f}{\partial x_{j_{1}}^{\beta _{1}}\ldots x_{j_{k}}^{\beta _{k}}}}\right|}
Donde los números
α
i
,
β
j
{\displaystyle \alpha _{i},\beta _{j}}
son enteros positivos que satisfacen:
∑
i
=
1
m
α
i
=
|
α
|
,
∑
j
=
1
n
β
j
=
|
β
|
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}=|\alpha |,\qquad \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}=|\beta |}
Ejemplos de funciones en
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
Si
a
,
n
>
0
{\displaystyle a,n>0\,}
, entonces
x
n
e
−
a
x
2
∈
S
(
R
)
{\displaystyle x^{n}e^{-ax^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}
.
Cualquier función suave de soporte compacto está en
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
.
Propiedades
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
es un espacio de Fréchet sobre los números complejos
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Por la regla de Leibniz se sigue que
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
es cerrado bajo la multiplicación punto a punto, es decir,
f
,
g
∈
S
(
R
n
)
⇒
h
(
x
)
:=
f
(
x
)
g
(
x
)
∈
S
(
R
n
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\Rightarrow h(x):=f(x)g(x)\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
.
La tansformada de Fourier es un automorfismo lineal acotado de
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
en sí mismo.
Para cualquier
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
, se tiene que
S
⊂
L
p
,
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{p},}
donde L p (R n ) es el espacio de funciones p -integrables en R n . En particular, cualquier función de
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
es una función acotada.[ 1]
Referencia
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis) , 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition , Academic Press, 1980.