Ecuación integral de Volterra

En matemáticas, las ecuaciones integrales de Volterra son un tipo de ecuaciones integrales especiales. Están divididas en dos grupos: de primer y segundo tipo.

Una ecuación de Volterra lineal de primer tipo es:

$f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds.$

Una ecuación de Volterra lineal de segundo tipo es:

$x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.$

En teoría de operaciones, y en la teoría de Fredholm, las ecuaciones correspondientes son denominadas operadores de Volterra.

Una ecuación integral de Volterra lineal es una ecuación de convoluciones si:

$x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(t-s)x(s)\,ds.$

La función $K$ en la integral es a menudo llamada kernel. Tales ecuaciones pueden ser analizadas y resueltas por los métodos de la transformada de Laplace.

Las ecuaciones integrales de Volterra fueron presentadas por el físico y matemático italiano Vito Volterra (1860–1940) y luego estudiadas por Traian Lalescu en su tesis de 1908, Sur les équations de Volterra, escritas bajo la dirección de Émile Picard. En 1911, Lalescu escribió el primer libro de ecuaciones integrales de la historia.

Las ecuaciones integrales de Volterra encuentran aplicación en demografía, el estudio de los materiales viscoelásticos y en matemáticas de seguros a través de la ecuación de renovación.