Doble péndulo

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En general, un doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos, con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masa pendular del superior.

Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un doble péndulo plano, con dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es caótico.

Análisis del movimiento del péndulo doble plano[editar]

Un ejemplo de doble péndulo.

Cinemática[editar]

En la cinemática sólo estamos interesados en encontrar las expresiones de la posición, la velocidad, la aceleración y en términos de las variables que especifican el estado del doble péndulo, sin interesarnos por las fuerzas actuantes. Nos serviremos de las siguientes coordenadas:

  • x,y = posición horizontal y vertical de la masa de un péndulo
  • θ = ángulo de un péndulo respecto a la vertical (0 = vertical hacia abajo, antihorario es positivo)
  • l = longitud de la varilla (constante)

Asociaremos al péndulo superior el subíndice 1, y al de abajo el subíndice 2. Pondremos el origen de coordenadas en el punto de pivote del péndulo superior. El sentido de las ordenadas crecientes se toma hacia arriba.

A partir de consideraciones trigonométricas escribimos las expresiones de las posiciones x1, y1, x2, y2 en términos de los ángulos θ1, θ2:

 x_1 = l_1 \sin\theta_1 \,
 y_1 = -l_1 \cos\theta_1 \,
 x_2 = x_1 + l_2 \sin \theta_2 \,
 y_2 = y_1 - l_2 \cos \theta_2 \,

Derivando con respecto al tiempo obtenemos:

 \dot x_1 = \dot\theta_1 l_1 \cos \theta_1
\dot y_1 = \dot \theta_1 l_1 \sin \theta_1
\dot x_2 = \dot x_1 + \dot\theta_2 l_2 \cos \theta_2
\dot y_2 = \dot y_1 + \dot\theta_2 l_2 \sin \theta_2

Y derivando una segunda vez:

\ddot x_1 = -\dot \theta_1^2 l_1 \sin \theta_1 + \ddot\theta_1 l_1 \cos \theta_1
\ddot y_1 = \dot\theta_1^2 l_1 \cos \theta_1 + \ddot\theta_1 l_1 \sin \theta_1
\ddot x_2 = \ddot x_1 - \dot\theta_2^2 l_2 \sin \theta_2 + \ddot\theta_2 l_2 \cos \theta_2
\ddot y_2 = \ddot y_1 + \dot\theta_2^2 l_2 \cos \theta_2 + \ddot\theta_2 l_2 \sin \theta_2

Fuerzas[editar]

Definimos las variables:

  • T = tensión en la varilla
  • M = masa del péndulo
  • g = aceleración de la gravedad

Usaremos la ley de Newton F=ma, escribiendo por separado las ecuaciones de las componentes verticales y horizontales de las fuerzas.

Sobre la masa m_1 actúan la tensión en la parte superior de la varilla T_1, la tensión en la parte inferior de la varillaT_2, y la gravedad -m1g:

m_1 \ddot x_1 = -T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2
m_1 \ddot y_1 = T_1 \cos \theta_1 - T_2 \cos \theta_2 - m_1 g

Sobre la masa m_2, actúan la tensión T_2 y la gravedad –m2g:

m_2 \ddot x_2 = -T_2 \sin \theta_2
m_2 \ddot y_2 = T_2 \cos \theta_2 - m_2 g

Ecuaciones de movimiento[editar]

A partir de las ecuaciones anteriores, tras realizar numerosas operaciones algebraicas con la finalidad de encontrar las expresiones de \ddot{\theta_1}, \ddot{\theta_2} en términos de \theta_1\,, \dot{\theta_1}\,, \theta_2\,, \dot{\theta_2}\,, llegaríamos a las ecuaciones de movimiento para el péndulo doble:


\ddot\theta_1 =  
\frac {-g (2m_1+m_2)\sin\theta_1 
-m_2g \sin(\theta_1-2\theta_2) 
-2\sin(\theta_1 
-\theta_2)m_2(\dot\theta_2^2 l_2 
+\dot\theta_1^2 l_1\cos(\theta_1-\theta_2))} 
{l_1(2m_1+m_2-m_2\cos(2\theta_1 
-2\theta_2))}
\ddot\theta_2 = 
\frac {2 \sin(\theta_1 
- \theta_2) (\dot\theta_1^2 l_1 (m_1 + m_2) 
+ g(m_1 + m_2) \cos \theta_1 + \dot\theta_2^2 l_2 m_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)) } {
l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos(2 \theta_1 - 2 \theta_2))}

Energía[editar]

La energía cinética viene expresada por:


T=\frac{1}{2}m_1(\dot x_1^2+\dot y_1^2)+\frac{1}{2}m_2(\dot x_2^2+\dot y_2^2)=
\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 + 
\frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{\theta}_1^2+l_2^2\dot{\theta}_2^2 +
2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)]

La energía potencial :

V=m_1gy_1+m_2gy_2=-(m_1+m_2)gl_1\cos\theta_1-m_2gl_2\cos\theta_2\,.

Por tanto, el movimiento se regirá por la lagrangiana

\mathcal L=T-V=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2
+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)
+(m_1+m_2)gl_1\cos\theta_1+m_2gl_2\cos\theta_2

Ecuaciones de movimiento de Lagrange[editar]

Usando las ecuaciones de Lagrange en este caso particular son:


\frac{d}{dt} \left( \frac{\part L}{\part \dot\theta_1 } \right)
- \frac{\part L }{\part \theta_1} = 0, \qquad
\frac{d}{dt} \left( \frac{\part L}{\part \dot\theta_2 } \right)
- \frac{\part L }{\part \theta_2} = 0

Calculando explícitamente las derivadas de la expresión anterior se llega a:

\begin{cases}
(m_1+m_2)l_1^2\ddot\theta_1+m_2\ddot\theta_2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_2l_1l_2(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\sin(\theta_1-\theta_2)+m_2\dot\theta_1\dot\theta_2l_1l_2\sin(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1=0 \\
m_2l_2^2\ddot\theta_2+m_2\ddot\theta_1l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_1l_1l_2(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_1\dot\theta_2l_1l_2\sin(\theta_1-\theta_2)+m_2gl_2\sin\theta_2=0 \end{cases}

Estas son las ecuaciones de Lagrange para un péndulo doble en el que hemos escogido como coordenadas generalizadas las polares y en el que hay dos ligaduras(l_1 yl_2 constantes)

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Marion, Jerry B. (1996) (en español). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. 

Enlaces externos[editar]