Deducción de la fórmula de Bhaskara

La fórmula de Bhaskara o fórmula general para las ecuaciones cuadráticas es una regla general que permite determinar las raíces de un polinomio de segundo grado. Fue deducida por el famoso matemático indio Bhaskara.^{[cita requerida]}

Lo que se busca es determinar los valores $x_{1},x_{2}\,$ para los cuales la ecuación $ax^{2}+bx+c=0\,$ tiene solución:

Demostración sencilla por cambio de variable

Demostración por traslado de la función:

La ecuación de segundo grado representa una parábola, y su mínimo o máximo lo encontramos igualando su derivada a 0, (punto en que la pendiente es 0).

$$f(x)=ax^{2}+bx+c\Rightarrow f'(x)=2ax+b=0\Rightarrow x=-{\frac {b}{2a}}\,$$

.1-Trasladaremos la función de modo que este punto se encuentre en el punto 0 del eje "x".

de esta forma, el eje "y ", dividirá la función en dos partes simétricas:

Matemáticamente equivale al cambio de variable: $x=z-{\frac {b}{2a}}\,$

$$f(z)=az^{2}+{\frac {b^{2}}{2^{2}a}}-bz+bz-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow f(z)=az^{2}+{\frac {b^{2}-2b^{2}+2^{2}ac}{2^{2}a}}$$

2.-Resolvemos la ecuación cuando $f(z)=0$, que nos dará dos soluciones simétricas respecto del eje y

$$az^{2}+{\frac {b^{2}-2b^{2}+2^{2}ac}{2^{2}a}}=0\Rightarrow az^{2}={\frac {b^{2}-2^{2}ac}{2^{2}a}}\Rightarrow z={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}}{2a}}$$

3.-Ya solo nos queda deshacer el cambio de variable:

$$x=z-{\frac {b}{2a}}={\frac {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}}{2a}}\,$$

Demostración por cambio de variable:

Se puede simplificar aplicando el cambio de variable $2m=b/a$ y $n=c/a$. Así la ecuación queda:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

• Se aplica el cambio de variable

$x^{2}+2mx+n=0\,$

• Sumando $m^{2}$ para ajustar cuadrados, y restando n en ambos miembros

$x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,$

• Y seguidamente contrayendo de la siguiente manera

$(x+m)^{2}=m^{2}-n\,$

• Se aplica la raíz cuadrada a ambos lados

$x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,$

• Restando $m$ a ambos lados

$x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,$

• Deshaciendo la sustitución, $m=b/2a$ y $n=c/a$

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,$

• Y operando se obtiene la siguiente ecuación:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

Demostración

• Partiendo de la ecuación

$ax^{2}+bx+c=0\,$ con $a\neq 0$

• Se multiplica por $4a$

$4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,$

• Seguidamente se suma $b^{2}$

$b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,$

• Reordenando se observa que es el cuadrado de la suma y por tanto:

$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,$

• Y contrayendo la identidad notable

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,$

• Aplicación de la raíz cuadrada a ambos lados

$2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$

• Restando $b$ a ambos lados de la igualdad

$2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$

• Como $a\neq 0$ se divide entre $2a$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

Véase también

• Ecuación de segundo grado

Enlaces externos

• Demostración: Fórmula Resolvente

• Datos: Q5801221