Conjetura de Elliott–Halberstam

En teoría de números, la conjetura de Elliott–Halberstam es una conjetura acerca de la distribución de primos es progresiones aritméticas. Este tiene muchas aplicaciones en teoría de cribas y es atribuido a Peter D. T. A. Elliott y Heini Halberstam.

Establecer esta conjetura requiere cierta notación. Sea $\pi (x)$ el número de primos menores o iguales a x. Sea q es un número entero positivo y a es coprimo a q, tome

$\pi (x;q,a)\,$

como el número de primos menores o iguales a x los cuales son iguales a a modulo q. El teorema de Dirichlet en progresiones aritméticas nos dice que

$\pi (x;q,a)\sim {\frac {\pi (x)}{\phi (q)}}$

cuando a es coprimo a q. Si definimos la función error

$E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\phi (q)}}\right|$

donde el máximo es tomado sobre todos los a coprimo a q, entonces la conjetura de Elliott–Halberstam conjecture asegura que para todo θ < 1 y A > 0 existe una constante C > 0 tal que

$\sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}$

para todo x > 2.

Esta conjetura fue probada para todo θ < 1/2 por Enrico Bombieri y A. I. Vinogradov (el Bombieri–Vinogradov theorem, algunas veces conocido como el "teorema de Bombieri"); este resultado es ya bastante util, siendo una de las diferentes formas de la hipótesis de Riemann, Terence Tao llamó a esta conjetura como "Una especie de hipótesis de Riemann super-generalizada para teoría de cribas".​ Se sabe que la conjetura falla en el punto θ = 1.

La conjetura de Elliott–Halberstam tiene muchas consecuencias. Uno de los resultados más recientes fue logrado por Dan Goldston, János Pintz, y Cem Yildirim [2] (véase [3], [4]), los cuales mostraron (asumiendo esta conjetura) que existen infinitos pares de primos los cuales difieren en a lo sumo en 16.

Véase

• Teorema de Barban–Davenport–Halberstam
• Teorema de Barban–Montgomery
• Teoría de cribas

Referencias

1. E. Bombieri, On the large sieve, Mathematika 12 (1965), 201–225
2. P.D.T.A. Elliot and H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symp. Math. 4 (1968-1969), 59-72.
3. A.I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series (in Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (1965), 903-934.