Compatibilidad de los axiomas de la aritmética

Hilbert señala la importancia y la necesidad de formalizar la matemática actual. Esta inquietud nace a partir de de la incertidumbre que se genera al hacer deducciones sobre axiomas que no son tan evidentes, en este punto se hace notar el contraste de la matemática con la geometría donde los axiomas son de algún modo visibles como es el caso de los postulados de Euclides.

La Nueva Matemática de Hilbert

Para Hilbert la nueva aritmética nacería a partir de un conjunto de fórmulas demostrables construidas con signos de un alfabeto, sin apelar al significado de dichos signos; este último punto propone una marcada división con los postulados geométricos que son dependientes del significado de términos como punto, línea, plano.

Sistema de axioma propuesto para la nueva matemática

$x=x$ (Identidad)

$x=y\rightarrow \,(A(x)\rightarrow \,A(y))$ (Axioma de Leibniz)

$\neg (sx=0)$ (Axiomas para el sucesor)

$sx=sy\Rightarrow x=y$

$x+0=x$ (Axiomas para la suma)

$x+sy=s(x+y)$

$x.0=0$ (Axiomas para el producto)

$x.sy=x.y+x$

Finalmente la base de esta nueva matemática seria una metamatematica que probaría consistentemente el conjunto de fórmulas sabiendo que al existir dos proposiciones mutuamente contradictorias solo una de estas puede ser probada.

Conclusiones

Este problema indujo a Gödel a la formulación de sus teoremas donde llegó a una respuesta para el problema, decepcionante de alguna manera, afirmando que.

• Sin importar como se formalice la matemática, siempre habrán proposiciones $O\,y\,\neg O$ que no son deducibles del sistema. De lo que se desprende la primer teoría de la incompletitud.
• Un sistema no puede probar su consistencia por sí mismo.

Enlaces Externos

• [1] (El segundo problema de Hilbert sobre la compatibilidad de los axiomas de la aritmética, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México).