Colectividad microcanónica

La colectividad microcanónica, o colectivo microcanónico, es una forma de plantear problemas en física estadística. Consiste en considerar que el sistema macroscópico es un sistema aislado de tal manera que la energía permanezca constante, al no existir intercambio con el exterior.

De hecho, al conjunto de microestados con la densidad de probabilidad dada por

$\rho (q,p)={\frac {1}{\Omega (E)}}\delta [E-H(q,p)],$

se denomina colectividad microcanónica y a la distribución, distribución microcanónica. Corresponde con sistemas macroscópicos aislados y en equilibrio. O lo que es lo mismo, con energía constante.

Por ejemplo, supongamos un modelo de Ising. Estamos interesados en calcular cuántos microestados hay compatibles con una energía dada. Si somos capaces de obtener éste número, habremos resuelto el problema termodinámico.

Formulación matemática

Es imprescindible, para expresar correctamente las relaciones con la termodinámica, empezar definiendo la función $\scriptstyle \Gamma$ como,

$\Gamma (E)=\int _{E_{0}}^{E}{dE'\int {dqdp\ \delta [E'-H(q,p)]}}=\int _{E_{o}\leq H\leq E}{dqdp},$

que resulta el volumen del espacio fásico encerrado entre las hipersuperficies $\scriptstyle H(q,p)=E_{o}$ y $\scriptstyle H(q,p)=E$ y se le denomina volumen fásico.

La relación existente entre $\scriptstyle \Omega$, la norma de la distribución, y $\scriptstyle \Gamma$ es:

$\Omega ={\frac {d\Gamma (E)}{dE}}.$

Este resultado se obtiene fácilmente reemplazando en la definición de $\Gamma (E)$ la expresión para $\rho (p,q)$.

$\Gamma (E)=\int _{E_{0}}^{E}\,dE'\,\int dpdq\,\rho (p,q)\,\Omega (E')$

El factor $\Omega (E')$ no depende de las variables del espacio fásico así que puede salir de la integral interna. Lo que queda es la integral en todo el espacio fásico de $\rho (p,q)$, igual a 1 por definición.

$\Gamma (E)=\int _{E_{0}}^{E}\,dE'\,\Omega (E')\int \,dpdq\,\rho (p,q)=\int _{E_{0}}^{E}\,dE'\,\Omega (E')$

Derivando respecto de E y aplicando el Teorema fundamental del cálculo obtenemos:

${\frac {d\Gamma (E)}{dE}}=\Omega (E)$

Conexión con la termodinámica

Es muy sencillo, la relación con el problema termodinámico viene dada por la fórmula de Boltzmann:

$S(E,N,V)=k_{B}\;\log {\Omega }$

donde $\Omega \,$ es la superficie que rodea al volumen fásico $\Gamma \,$ y que es proporcional al número de microestados con energía $E\,$. $S\,$ es la entropía del sistema expresada en función de sus variables naturales, lo que da una información termodinámica completa del sistema. Para obtener $\Omega$ es necesario elaborar un modelo del sistema físico que queramos estudiar.

Esta ecuación está basada en el principio de que todas las configuraciones microscópicas son igualmente probables, siempre que sean compatibles con las condiciones macroscópicas de energía, número de partículas y volumen. También es necesario que se cumpla el Principio de ergodicidad.

De esta ecuación podemos obtener todas las propiedades termodinámicas, como Ecuación de Estado, Calor específico, Energía, etc.

Véase también

• Física estadística
• Colectividad canónica
• Colectividad macrocanónica

Referencias

• Reif, F.: "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics". McGraw-Hill, New York, 1965.
• Mandl, F.: "Statistical Physics". John Wiley, New York, 1971.
• Kittel, C.: "Física Térmica". Editorial Reverté, Barcelona, 1986.
• Landau, L. D. y Lifshitz, E. M.: "Física Estadística" vol. 5 del Curso de Física Teórica. Editorial Reverté, Barcelona, 1988.