Colectividad macrocanónica

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La colectividad macrocanónica (o colectivo macrocanónico o grancanónico) es una forma de plantear problemas en física estadística. Consiste en fijar macroscópicamente en un sistema el potencial químico, el volumen y la temperatura. A diferencia de la colectividad canónica, donde el sistema a estudio sólo puede intercambiar energía con el exterior, en la colectividad macrocanónica el sistema puede intercambiar tanto partículas como energía con el entrorno.

Definición[editar]

Se denomina ensamble macrocanónico (también llamado colectividad macrocanónica o gran canónica) al conjunto de los posibles estados de un sistema (conjunto de partículas) que intercambia energía térmica y materia con los alrededores. Al estudiar el equilibrio del sistema, se fijan macroscópicamente el potencial químico \mu, el volumen V y la temperatura T.

Función de partición macrocanónica[editar]

La función de partición macrocanónica \mathcal{Z} de un gas ideal cuántico, esto es, un gas de partículas no interactuantes en un pozo de potencial, viene dada por:


\mathcal{Z} = \sum_{N=0}^\infty\,\sum_{\{n_i\}}\,\prod_i e^{-\beta n_i(\epsilon_i-\mu)}\;\;,

donde N es el número total de partículas del gas, el producto \prod se extiende sobre cada microestado i para una partícula, n_i es el número de partículas ocupando el microestado i y \epsilon _i es la energía de una partícula en dicho microestado. \{n_i\} es el conjunto de todos los posibles números de ocupación para cada uno de esos microestados, de manera que Σini = N.

En el caso de los bosones, al no cumplir el principio de exclusión de Pauli, las partículas idénticas pueden ocupar el mismo estado cuántico, y los números de ocupación pueden tomar cualquier valor entero siempre que su suma valga N. Sin embargo, para los fermiones, el principio de exclusión de Pauli impide que dos partículas idénticas ocupen el mismo estado cuántico y, por lo tanto, los números de ocupación pueden tomar sólo los valores 0 y 1, además de que, evidentemente, su suma valga N.

Funciones de partición macrocanónicas especifícas[editar]

La expresión anterior para \mathcal{Z}, se puede demostrar que es equivalente a:

\mathcal{Z} = \prod_i \mathcal{Z}_i.

Para un conjunto grande de bosones en equilibrio térmico, \mathcal{Z}_i toma la forma:

\mathcal{Z}_i
= \sum_{n_i=0}^\infty e^{-\beta n_i(\epsilon_i-\mu)}
= {1 \over  1-e^{-\beta (\epsilon_i-\mu)}}\;\;,

mientras que para un sistema compuesto por un número grande de fermiones:

\mathcal{Z}_i
= \sum_{n_i=0}^1 e^{-\beta n_i(\epsilon_i-\mu)}
= 1+e^{-\beta (\epsilon_i-\mu)}\;\;,

y para un gas de Maxwell-Boltzmann:

\mathcal{Z}_i
= \sum_{n_i=0}^\infty \frac{e^{-\beta n_i(\epsilon_i-\mu)}}{n_i!}
= \exp\left( e^{-\beta (\epsilon_i-\mu)}\right)\;\;.

Derivación de las funciones de estado[editar]

Al igual que en la colectividad canónica, a partir de la función de partición macrocanónica se pueden calcular expresiones para los valores esperados de las funciones de estado.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Reif, F.: "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics". McGraw-Hill, New York, 1965.
  • Mandl, F.: "Statistical Physics". John Wiley, New York, 1971.
  • Kittel, C.: "Física Térmica". Editorial Reverté, Barcelona, 1986.
  • Landau, L. D. y Lifshitz, E. M.: "Física Estadística" vol. 5 del Curso de Física Teórica. Editorial Reverté, Barcelona, 1988.