Cofinalidad
En teoría de conjuntos y teoría del orden, un subconjunto A de un conjunto ordenado X es cofinal en X si no tiene cota superior en X.
En teoría de conjuntos se utiliza este concepto para definir la noción de cofinalidad, que permite clasificar los distintos cardinales infinitos.
Cofinalidad de ordinales[editar]
La definición de conjunto cofinal es:
|
Por otro lado, la noción de «cofinal» referida a ordinales es:
|
De este modo, α es cofinal en β si puede «escalarse» el ordinal β en α «saltos» arbitrariamente grandes, superando cualquier ordinal menor que β. Se define entonces la cofinalidad de un ordinal como:
|
Es decir, cf(α) es el número mínimo de «saltos» necesarios para «escalar» α.
La cofinalidad de un ordinal sólo tiene interés para ordinales límite, ya que dado cualquier ordinal sucesor se tiene que cf(α) = 1. En efecto, el rango de la función f : 1 → α dada por f(0) = β es cofinal en α.
Puede demostrarse que se requieren infinitos «saltos» para escalar un ordinal límite, y que no cualquier ordinal puede ser la cofinalidad de otro:
|
Ejemplos. (Se puede utilizar la notación de números alef para hablar de cofinalidades, identificando ℵα con el correspondiente ordinal ωα.)
- Ningún número natural n es cofinal en ω, porque el rango de cualquier función f : n → ω tiene un máximo, f(n – 1), y por tanto una cota superior estricta, f(n – 1) + 1. Así, cf(ω) = ω.
- Si se asume el axioma de elección (o incluso una versión más débil), la cofinalidad del primer ordinal no numerable ω1 no es ningún ordinal numerable δ . Esto se debe a que entonces, la unión numerable de conjuntos numerables es a su vez numerable, y ninguna función f : δ → ω1 es cofinal: la unión de los ordinales en su imagen, todos ellos numerables por la definición de ω1, es un ordinal numerable α, y α + 1 es menor que ω1 y una cota estricta para el rango de f. Por tanto, ha de ser cf(ω1) = ω1.
- El cardinal ℵω es la unión numerable de los cardinales ℵn. Puesto que esa serie numerable no tiene cota en ℵω, se tiene que cf(ℵω) = ω.
Ordinal regular[editar]
Un ordinal α es regular si coincide con su confinalidad, α = cf(α). Un ordinal regular es de hecho un cardinal.
Referencias[editar]
- Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, consultado el 22 de abril de 2011..
- Roitman, Judith (1990). «5.4. Cofinality». Introduction to Modern Set Theory (en inglés). Wiley. ISBN 0-471-63519-7.