Cálculo de Jones

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En óptica, la luz polarizada puede ser descrita mediante el cálculo de Jones, inventado por R. C. Jones en 1941. La luz polarizada es representada por un vector de Jones, y los elementos ópticos lineales están representados por las matrices de Jones. Cuando la luz atraviesa un elemento óptico, la polarización resultante de la luz que emerge se encuentra tomando el producto de la matriz de Jones del elemento óptico y el vector de Jones de la luz incidente. El cálculo de Jones sólo es aplicable a la luz que ya está totalmente polarizada. La luz que es polarizada al azar, polarizada parcialmente, o incoherente debe ser tratada con el cálculo de Mueller.

Vectores de Jones[editar]

Los vectores de Jones describen la polarización de la luz.

Las componentes x e y de la amplitud compleja del campo eléctrico de luz, viajan a lo largo de la dirección z, E_x (t) y E_y (t), y se representan como

\begin{pmatrix} E_x(t) \\ E_y(t)\end{pmatrix} 
=E_{0} \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i(kz- \omega t+\phi_x)} \\ E_{0y} e^{i(kz- \omega t+\phi_y)} \end{pmatrix} 
=E_{0}e^{i(kz- \omega t)} \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix} .

Aquí \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix} es el vector de Jones ( i es la unidad imaginaria con i^2=-1). Por lo tanto, el vector de Jones representa la amplitud (relativa) y la fase (relativa) del campo eléctrico en las direcciones x e y.

La suma de los cuadrados de los valores absolutos de las dos componentes de los vectores de Jones, es proporcional a la intensidad de la luz. Por simplicidad, es común normalizar a 1 en el punto de partida del cálculo. También es común restringir a ser un número real, la primer componente del vector de Jones. Esto descarta la fase de información necesaria para el cálculo de la interferencia con otro haz. Tenga en cuenta que en todos los vectores y matrices de Jones en esta página, se asume que la fase de la onda de la luz es φ = kz - ωt, que es utilizado por Hecht. En esta definición, el aumento de \phi_x (o \phi_y) indica el retraso (delay) en la fase, mientras que la disminución indica el avance. Por ejemplo, un componente de vector de Jones i (=e^{i\pi/2}) indica el retraso de π / 2 (o 90 grados) en comparación con 1 (=e^{0}). Collett utiliza la definición contraria (φ = ωt - kz). El lector debe tener cuidado al consultar las referencias del cálculo de Jones.

La siguiente tabla muestra los seis ejemplos comunes de vectores normalizados de Jones.


Esfera de Poincaré con seis etiquetas por los tipos comunes de polarización
Polarización Vector de Jones correspondiente Notación Típica ket
Polarización lineal en la dirección x,
llamada típicamente 'Horizontal'.
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}  |H\rangle
Polarización lineal en la dirección y,
llamada típicamente 'Vertical'.
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}  |V\rangle
Polarización lineal a 45° desde el eje x,
llamada típicamente 'Diagonal' L+45.
\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  |D\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle + |V\rangle )
Polarización lineal a -45° desde el eje x,
llamada típicamente 'Anti-Diagonal' L-45.
\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}  |A\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle - |V\rangle )
Polarización circular dextrógira,
llamada típicamente PCD.
\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} | R\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle - i |V\rangle )
Polarización circular levógira,
llamada típicamente CPL.
\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}  |L\rangle  = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle + i |V\rangle )

Cuando se aplica a la esfera de Poincaré (también conocida como la esfera de Bloch), la base de kets |0\rangle y |1\rangle) se deben asignar a pares opuestos (antípodas) de los kets mencionados anteriormente. Por ejemplo, se podría asignar |0\rangle = |H\rangle y |1\rangle = |V\rangle. Estas asignaciones son arbitrarias. Pares opuestos son

  • |H\rangle y |V\rangle
  • |D\rangle y |A\rangle
  • |R\rangle y |L\rangle

El ket |\psi\rangle es un vector que apunta en general a cualquier lugar de la superficie. Cualquier punto que no esté ni en la tabla de arriba ni en el círculo que pasa a través del |H\rangle, |D\rangle, |V\rangle, |A\rangle se conoce colectivamente como polarización elíptica.

Matrices de Jones[editar]

Las matrices de Jones son las que actúan sobre los vectores de Jones como se indica anteriormente. Estas matrices se implementan por los diversos elementos ópticos tales como lentes, divisores de haz, espejos, etc. La siguiente tabla proporciona ejemplos de las matrices de Jones para polarizadores:

Elemento óptico Matriz de Jones correspondiente
Polarizador Lineal con eje de transmisión horizontal

\begin{pmatrix} 
1 & 0 \\ 0 & 0 
\end{pmatrix}

Polarizador Lineal con eje de transmisión vertical

\begin{pmatrix} 
0 & 0 \\ 0 & 1 
\end{pmatrix}

Polarizador Lineal con eje de transmisión a 45° respecto a la horizontal

\frac12 \begin{pmatrix} 
1 & 1 \\ 1 & 1 
\end{pmatrix}

Polarizador Lineal con eje de transmisión a -45° respecto a la horizontal

\frac12 \begin{pmatrix} 
1 & -1 \\ -1 & 1 
\end{pmatrix}

Polarizador Circular Derecho

\frac12 \begin{pmatrix} 
1 & i \\ -i & 1 
\end{pmatrix}

Polarizador Circular Izquierdo

\frac12 \begin{pmatrix} 
1 & -i \\ i & 1 
\end{pmatrix}

Polarizador lineal con el eje de transmisión en ángulo del \theta con la horizontal. (Construcción que se muestra en rotación desde la horizontal en el elemento de polarización, el elemento de polarización, y luego girando hacia abajo por la horizontal.)

\begin{pmatrix} 
\cos^2(\theta) & \cos(\theta)\sin(\theta) \\ 
\sin(\theta)\cos(\theta) & \sin^2(\theta) 
\end{pmatrix} =
 
\begin{pmatrix} 
\cos(-\theta) & \sin(-\theta) \\ 
-\sin(-\theta) & \cos(-\theta) 
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix} 
1 & 0 \\ 
0 & 0 
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix} 
\cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 
-\sin(\theta) & \cos(\theta) 
\end{pmatrix}

Retardadores de Fase[editar]

Los retardadores de fase introducen un cambio de fase entre la componente vertical y horizontal del campo y por lo tanto cambian la polarización del haz. Los retardadores de fase se fabrican generalmente de cristales birrefringentes o cristales uniaxiales como la calcita, MgF 2 o cuarzo. Los cristales uniaxiales tienen un eje de cristal que es diferente de los otros dos ejes del cristal (i.e., ninj = nk). Este único eje se denomina eje extraordinario que también se le conoce como el eje óptico. Un eje óptico puede ser ágil o lento para el cristal dependiendo del cristal a mano. La luz viaja a una velocidad de fase superior a través de un eje que tiene el menor índice de refracción y este eje se denomina eje rápido. Del mismo modo, un eje que tiene el mayor índice de refracción se denomina eje lento ya que la velocidad de fase de la luz es más baja a lo largo de este eje.

Cualquier retardador de fase con rapidez en el eje vertical u horizontal tiene ceros fuera de la diagonal y por lo tanto puede ser convenientemente expresado como

 
\begin{pmatrix} 
e^{i\phi_x} & 0 \\ 0 & e^{i\phi_y} 
\end{pmatrix}

donde, \phi_x y \phi_y son las fases del campo eléctrico en las direcciones x e y respectivamente. Siguiendo la convención de fase \phi = kz - \omega t, la fase relativa entre las dos ondas cuando se representan como \epsilon = \phi_y - \phi_x sugieren que un valor positivo de \epsilon (i.e., \phi_y > \phi_x) significa que E_y no les corresponde el mismo valor como E_x hasta un tiempo posterior i.e., E_x conduce a E_y. Similarmente, si \epsilon < 0 i.e., \phi_x > \phi_y, E_y conduce a E_x. En la convención de fase opuesta \phi = \omega t - kz, la fase relativa cuando se define como \epsilon = \phi_x - \phi_y sugiere que un \epsilon positivo significa que E_y no le corresponde el mismo valor como E_x hasta un tiempo posterior i.e.,  E_x conduce a E_y.

Retardadores de Fase Matriz de Jones correspondiente
lámina de cuarto de onda con eje vertical rápido

 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 \\ 0 & -i 
\end{pmatrix}

lámina de cuarto de onda con eje horizontal rápido

 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 \\ 0 & i 
\end{pmatrix}

lámina de media onda con eje rápido por el ángulo \theta w.r.t el eje horizontal[1]

\begin{pmatrix} 
\cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta 
\end{pmatrix} </math>

Las expresiones especiales para los retardadores de fase se pueden obtener mediante la general para un material birrefringente. En la expresión anterior:

  • Retraso de fase inducido entre E_x y E_y por un material birrefringente se da por \phi_y - \phi_x
  • θ es la orientación del eje rápido con respecto al eje de abscisas.
  • φ es la circularidad (Para retardadores lineales, φ = 0 y para los retardadores circulares, φ = ± π / 2. Para retardadores elípticos, toma valores entre - π / 2 y π / 2).

Elementos Rotados[editar]

Si un elemento óptico se hace girar alrededor del eje óptico por el ángulo θ, la matriz de Jones para el elemento de rotación, M (θ), se construye a partir de la matriz sin rotar, M, por la transformación

M(\theta )=R(\theta )\,M\,R(-\theta ),
donde R(\theta ) = 
\begin{pmatrix} 
\cos \theta & -\sin \theta \\ 
\sin \theta & \cos \theta 
\end{pmatrix}.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. A. Gerald and J.M. Burch, Introduction to Matrix Methods in Optics,1st ed., John Wiley & Sons(1975). ISBN 0-471-29685-6

Referencias[editar]

  • E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
  • D. Goldstein and E. Collett, Polarized Light, 2nd ed., CRC Press (2003). ISBN 0-8247-4053-X.
  • E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
  • Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Introduction to Optics, 2nd ed., Prentice Hall (1993). ISBN 0-13-501545-6
  • A. Gerald and J.M. Burch, Introduction to Matrix Methods in Optics,1st ed., John Wiley & Sons(1975). ISBN 0-471-29685-6
  • Jones, R. Clark (1941). «A new calculus for the treatment of optical systems, I. Description and Discussion of the Calculus». Journal of the Optical Society of America 31 (7):  pp. 488–493. doi:10.1364/JOSA.31.000488. 
  • Hurwitz, Henry; Jones, R. Clark (1941). «A new calculus for the treatment of optical systems, II. Proof of three general equivalence theorems». Journal of the Optical Society of America 31 (7):  pp. 493–499. doi:10.1364/JOSA.31.000493. 
  • Jones, R. Clark (1941). «A new calculus for the treatment of optical systems, III The Sohncke Theory of optical activity». Journal of the Optical Society of America 31 (7):  pp. 500–503. doi:10.1364/JOSA.31.000500. 
  • Jones, R. Clark (1942). «A new calculus for the treatment of optical systems, IV». Journal of the Optical Society of America 32 (8):  pp. 486–493. doi:10.1364/JOSA.32.000486. 
  • Fymat, A. L. (1971). «Jones's Matrix Representation of Optical Instruments. I: Beam Splitters». Applied Optics 10 (11):  pp. 2499–2505. doi:10.1364/AO.10.002499. PMID 20111363. Bibcode1971ApOpt..10.2499F. 
  • Fymat, A. L. (1971). «Jones's Matrix Representation of Optical Instruments. 2: Fourier Interferometers (Spectrometers and Spectropolarimeters)». Applied Optics 10 (12):  pp. 2711–2716. doi:10.1364/AO.10.002711. Bibcode1971ApOpt..10.2711F. 
  • Fymat, A. L. (1972). «Polarization Effects in Fourier Spectroscopy. I: Coherency Matrix Representation». Applied Optics 11 (1):  pp. 160–173. doi:10.1364/AO.11.000160. PMID 20111472. Bibcode1972ApOpt..11..160F. 
  • Gill, Jose Jorge; Bernabeu, Eusebio (1987). «Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix,». Optik 76:  pp. 67–71. 
  • Brosseau, Christian; Givens, Clark R.; Kostinksi, Alexander B. (1993). «Generalized trace condition on the Mueller-Jones polarization matrix». Journal of the Optical Society of America A 10 (10):  pp. 2248–2251. doi:10.1364/JOSAA.10.002248. Bibcode1993JOSAA..10.2248B. 
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  • Moreno, Ignacio; Yzuel, Maria J.; Campos, Juan; Vargas, Asticio (2004). «Jones matrix treatment for polarization Fourier optics». Journal of Modern Optics 51 (14):  pp. 2031–2038. doi:10.1080/09500340408232511. 
  • Moreno, Ivan (2004). «Jones matrix for image-rotation prisms». Applied Optics 43 (17):  pp. 3373–3381. doi:10.1364/AO.43.003373. PMID 15219016. Bibcode2004ApOpt..43.3373M.