Aproximación de Padé

Henri Padé.

La aproximación de Padé es la "mejor" aproximación de una función por una función racional de un orden dado. En virtud de esta técnica, la serie de potencias de la aproximación concuerda con la serie de potencias de la función que se aproxima. La técnica fue desarrollada por Henri Padé.

La aproximación de Padé, da una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor, y funciona incluso donde la serie de Taylor no es convergente. Por esta razón las aproximaciones de Padé se usan ampliamente en los cálculos de ordenadores. Han sido también aplicados a las aproximaciones diofantinas, aunque para resultados nítidos, típicamente son reemplazados por métodos en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé.

Definición

Dada una función f y dos enteros m ≥ 0 y n ≥ 0, la aproximación de Padé de orden (m, n) es la función racional

$R(x)={\frac {p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{m}x^{m}}{1+q_{1}x+q_{2}x^{2}+\cdots +q_{n}x^{n}}}$

que concuerda con $f(x)$ en el máximo orden posible, lo que equivale a

${\begin{array}{rcl}f(0)&=&R(0)\\f'(0)&=&R'(0)\\f''(0)&=&R''(0)\\&\vdots &\\f^{(m+n)}(0)&=&R^{(m+n)}(0)\end{array}}$.

Equivalentemente, si $R(x)$ se expande en una serie de McLaurin (Serie de Taylor en 0), sus primeros m + n términos cancelarían los primeros m + n términos de $f(x)$, y como tal

$f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots$

La Aproximación de Padé es única para determinadas m y n, es decir, los coeficientes $p_{0},p_{1},\dots ,p_{m},$ $q_{1},\dots ,q_{n}$, pueden ser determinados únicos. es por razones de esta singularidad que el término de orden cero del denominador de $R(x)$ fue elegido para ser 1, de otra manera, el numerador y denominador de $R(x)$ habría sido único sólo multiplicando por una constante.

La Aproximación de Padé definida arriba es denotada también por

$[m/n]_{f}(x).\,$

Para una $x$ dada, la Aproximación de Padé puede ser calculada por el Algoritmo Épsilon y también por otras secuencias de transformaciones de sus sumas parciales

$s_{n}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}$

de la Serie de Taylor de $f$, es decir, tenemos

$c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.$

Cabe denotar que $f$ también puede ser una serie formal de potencias y, por lo tanto, la Aproximación e Padé puede ser aplicada también a la sumatoria de series divergentes.

Función zeta de Riemman - Padé

Para estudiar la sumatoria de una Serie divergente, por ejemplo

$\sum _{z=1}^{\infty }f(z),$

puede ser útil introducir la función simple racional de Padé

$\zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},$

donde

$R(x)=[m/n]_{f}(x),\,$

es sólo la aproximacición de orden (m, n) de la función f(x). El valor de regularización zeta en s = 0 se toma como la suma de las series divergentes. La ecuación funcional para la función zeta de Padé es

$\sum _{j=0}^{n}p_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}q_{j}\zeta _{0}(s-j),$

donde $p_{j}$ y $q_{j}$ son los coeficientes en la aproximación de Padén. El subíndice "0" significa que el Padé es del orden de [0 / 0] y por lo tanto, tenemos la función zeta de Riemann.

Una aproximación de Padé aproxima a una función en una variable. Un aproximación en dos variables se llama una aproximación de Chisholm, en múltiples variables aproximación de Canterbury (después de Graves-Morris en la Universidad de Kent).

Referencias

• Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
• Baker, G. A., Jr. Padé approximant, (under review) Scholarpedia 2010
• Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
• Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical recipes in C. Section 5.12., Cambridge University Press.
• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
• Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 supplement.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Padé Approximant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Module for Padé Approximation, John H. Mathews California State University, Fullerton
• Padé Approximants, Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project
• A Short Introduction to Padé Approximants, Jerome Soucy Université Laval
• Data Analysis BriefBook: Pade Approximation, Rudolf K. Bock European Laboratory for Particle Physics, CERN
• Sinewave, Scott Dattalo, last accessed 2010-11-11.