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En la teoría matemática de los Teselados, el Criterio de Conway, llamado así por el matemático inglés John Horton Conway, es una regla suficiente para determinar cuándo un prototipo colocará el plano en mosaico. Consta de los siguientes requisitos:[1] La losa debe ser un disco topológico cerrado con seis puntos consecutivos A, B, C, D, E y F en el perímetro, de modo que:
- La parte del perímetro de A a B es congruente con la parte del perímetro de E a D mediante una traslación T donde T(A) = E y T(B) = D.
- Cada una de las partes perímetro BC, CD, EF y FA es centrosimétrica, es decir, cada una es congruente consigo misma cuando se gira 180 grados alrededor de su punto medio.
- Algunos de los seis puntos pueden coincidir pero al menos tres de ellos deben ser distintos.[2]
Cualquier prototipo que satisfaga el criterio de Conway admite un mosaico periódico del plano, y lo hace utilizando sólo rotaciones de 180 grados.[1] El criterio de Conway es una condición suficiente para demostrar que un prototipo enlosa el avión, pero no es necesaria. Hay mosaicos que no cumplen el criterio y aún así cubren el avión.[3]
Cada loseta de Conway se puede plegar en un Disfenoide o en un Diedro rectangular y, a la inversa, cada red de un disfenoide o un diedro rectangular es una loseta de Conway.
Historia
El criterio de Conway se aplica a cualquier forma que sea un disco cerrado; si el perímetro de dicha forma satisface el criterio, entonces enlosará el plano. Aunque el artista gráfico MC Escher nunca articuló el criterio; lo descubrió a mediados de la década de 1920. Uno de sus primeros teselados, que luego numeró 1, ilustra su comprensión de las condiciones del criterio. Seis de sus primeros teselados satisfacen el criterio. En 1963, el matemático alemán Heinrich Heesch describió los cinco tipos de baldosas que cumplían el criterio. Muestra cada tipo con notación que identifica los bordes de una baldosa a medida que uno viaja alrededor del perímetro: CCC, CCCC, TCTC, TCTCC, TCCTCC, donde C significa un borde centrosimétrico y T significa un borde trasladado.[4]
Conway probablemente se inspiró en la columna de Martin Gardner de julio de 1975 en Scientific American que analizaba qué polígonos convexos pueden formar mosaicos en el plano. En agosto de 1975, Gardner reveló que Conway había descubierto su criterio mientras intentaba encontrar una manera eficiente de determinar cuál de los 108 heptominós pueden teselar el plano.[5]
Ejemplos
Ejemplo de teselación basada en una losa hexagonal Tipo 1. En su forma más simple, el criterio simplemente establece que cualquier hexágono con un par de lados opuestos que sean paralelos y congruentes formará un teselado del plano.[6] En el artículo de Gardner, esto se llama hexágono tipo 1.[5] Esto también se aplica a los paralelogramos. Pero las traslaciones que coinciden con los bordes opuestos de estos mosaicos son la composición de dos rotaciones de 180°: alrededor de los puntos medios de dos bordes adyacentes en el caso de un Paralelógono hexagonal, y alrededor del punto medio de un borde y uno de sus vértices en el caso de un paralelogramo. Cuando una loseta que satisface el criterio de Conway se gira 180° alrededor del punto medio de un borde centrosimétrico, se crea un paralelogramo generalizado o un paralelogono hexagonal generalizado (estos tienen bordes opuestos congruentes y paralelos), por lo que la loseta duplicada puede enlosar el plano mediante traducciones.[7] Las traslaciones son la composición de rotaciones de 180°, como en el caso del paralelogono o paralelogramo hexagonal de regla recta.[8]
El criterio de Conway es sorprendentemente poderoso, especialmente cuando se aplica a poliformas. Con la excepción de cuatro heptominós, todos los poliominós hasta el orden 7 satisfacen el criterio de Conway o dos copias pueden formar un parche que satisfaga el criterio.
Notas y referencias
- ↑ a b Will It Tile? Try the Conway Criterion! by Doris Schattschneider Mathematics Magazine Vol. 53, No. 4 (Sep, 1980), pp. 224-233
- ↑ Periodic Tiling: Polygons in General
- ↑ Treks Into Intuitive Geometry: The World of Polygons and Polyhedra by Jin Akiyama and Kiyoko Matsunaga, Springer 2016, ISBN 9784431558415
- ↑ Flächenschluss. System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flachteile, by Heinrich Heesch and Otto Kienzle, Berlin: Springer, 1963.
- ↑ a b Gardner, Martin. More about tiling the plane: the possibilities of polyominoes, polyiamonds, and polyhexes “Mathematical Games” Scientific American, vol. 233, no. 2 (August 1975)
- ↑ Polyominoes: A Guide to Puzzles and Problems in Tiling, by George Martin, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1991, p. 152, ISBN 0-88385-501-1
- ↑ Two Conway Geometric Gems, Doris Schattschneider, Nov 1, 2021 [video]
- ↑ Drawing Wallpaper Patterns: The five types of Conway Criterion polygon tile, PDF file
Enlaces externos
- Conway’s Magical Pen Una aplicación en línea donde puedes crear tus propios mosaicos de criterios de Conway originales y sus teselados.