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Para la definición de un óvalo:
e: recta exterior,
t: recta tangente,
s: recta secante

En geometría proyectiva, un óvalo es un conjunto de puntos en un plano, definido por sus propiedades de incidencia. Los ejemplos estándar son las cónicas no degeneradas. Sin embargo, una cónica solo está definida en un plano pappiano, mientras que un óvalo puede existir en cualquier tipo de plano proyectivo. En la bibliografía existen muchos criterios que implican que un óvalo es una cónica, pero hay muchos ejemplos, tanto infinitos como finitos, de óvalos en planos pappianos que no son cónicas.

Como ya se ha mencionado, en geometría proyectiva un óvalo se define por sus propiedades de incidencia, pero en otras áreas, los óvalos pueden definirse para satisfacer otros criterios, como por ejemplo, en geometría diferencial mediante condiciones de diferenciabilidad en el plano real.

El análogo de dimensiones superiores de un óvalo es un ovoide en un espacio proyectivo.

Una generalización del concepto de óvalo es un óvalo abstracto, que es una estructura que no está necesariamente incrustada en un plano proyectivo. De hecho, existen óvalos abstractos que no pueden estar en ningún plano proyectivo.

Definición de un óvalo

  1. Cualquier línea l se encuentra con Ω en como máximo dos puntos, y
  2. Para cualquier punto P ∈ Ω existe exactamente una recta tangente t a P, es decir, t ∩ Ω= {P}.

Cuando Expresión errónea: carácter de puntuación «'» desconocido.= 0 la recta l es una recta exterior (o pasante),[1]​ si Expresión errónea: carácter de puntuación «'» desconocido.= 1 es una recta tangente y si Expresión errónea: carácter de puntuación «'» desconocido.= 2 la recta es una recta secante.

Para planos finitos (es decir, el conjunto de puntos es finito) tenemos una caracterización más conveniente:[2]

  • Para un plano proyectivo finito de orden n (es decir, cualquier línea contiene puntos n + 1), un conjunto Ω de puntos es un óvalo si y solo si Expresión errónea: carácter de puntuación «Ω» desconocido.= n + 1 y no tres puntos son colinealidad (en una línea común).

Un conjunto de puntos en un plano "afín" que satisface la definición anterior se denomina "óvalo afín".

Un óvalo afín es siempre un óvalo proyectivo en el cierre proyectivo (agregando una línea en el infinito) del plano afín subyacente.

Un óvalo también puede considerarse como un conjunto cuadrático especial.[3]

Ejemplos

Secciones cónicas

projective conic in inhomogeneous coordinates: parabola plus point at infinity of the axis
projective conic in inhomogeneous coordinates: hyperbola plus points at infinity of the asymptotes

En cualquier plano proyectivo papiano existen secciones cónicas proyectivas no degeneradas y cualquier sección cónica proyectiva no degenerada es un óvalo. Esta afirmación se puede verificar mediante un cálculo sencillo para cualquiera de las cónicas (como parábola (matemática) o hipérbola).

Las cónicas no degeneradas son óvalos con propiedades especiales:

Óvalos, que no son cónicas

en el espacio coordenado real
  1. Si se pega la mitad de un círculo y la mitad de una elipse smoothly, se obtiene un óvalo no cónico.
  2. Si se toma la representación no homogénea de un óvalo cónico como una parábola más un punto en el infinito y se reemplaza la expresión x2 por x4, se obtiene un óvalo que no es una cónica.
  3. Si se toma la representación no homogénea de un óvalo cónico como una hipérbola más dos puntos en el infinito y se reemplaza la expresión 1/x por 1/x3, se obtiene un óvalo que no es una cónica.
  4. La curva implícita x4 + y4= 1 es un óvalo no cónico.
en un plano finito de orden par
  1. En un plano papiano finito de orden par, una cónica no degenerada tiene un "núcleo" (un único punto por el que pasa cada tangente), que puede intercambiarse con cualquier punto de la cónica para obtener un óvalo que no es una cónica.
  2. Para el campo K= GF(2m) con elementos 2m, dejemos
Para k ∈ {2,...,m − 1} y k y m coprimos, el conjunto Ω es un óvalo, que no es una cónica.[4][5]

Se pueden encontrar más ejemplos finitos aquí:[6]

Criterios para que un óvalo sea cónico

Para que un óvalo sea cónico, el óvalo y/o el plano deben cumplir condiciones adicionales. Aquí hay algunos resultados:

  1. Un óvalo en un plano proyectivo arbitrario, que cumple la condición de incidencia de Pascal's theorem o su degeneración de 5 puntos, es una cónica no degenerada.[7]
  2. Si Ω es un óvalo en un plano proyectivo pappiano y el grupo de proyectividades que dejan invariante a Ω es 3-transitivo, es decir, para 2 triples A1, A2, A3 ; B1, B2, B3 de puntos existe una proyectividad Plantilla:Pi con π(Ai)= Bi, i= 1,2,3. En el caso finito, "2-transitivo" es suficiente.[8]
  3. Un Ω ovalado en un plano proyectivo pappiano de característica ≠ 2 es una cónica si y solo si para cualquier punto P de una tangente hay una perspectivity (simetría) involutiva con centro P que deja a Ω invariante.[9]
  4. Si Ω es un óvalo en un plano proyectivo desarguesiano finito[10]​ (pappiano) de orden impar, PG(2, q), entonces Ω es una cónica (Segre's theorem, (Segre, 1955)). Esto implica que, tras un posible cambio de coordenadas, todo óvalo de PG(2, q) con q impar tiene la parametrización:

Para óvalos topológicos se cumplen los siguientes criterios simples:

5. Cualquier óvalo "cerrado" del plano proyectivo complejo es una cónica.[11]

Otros resultados sobre óvalos en planos finitos

Un óvalo en un plano proyectivo finito de orden q es un (q + 1, 2)-arc, en otras palabras, un conjunto de puntos q + 1, no tres colineales. Los óvalos en el plano proyectivo Desarguesian (papiano) PG(2, q) para q impares son solo las cónicas no singulares. Sin embargo, los óvalos en PG(2, q) para

o q aún no han sido clasificados.

En un plano proyectivo finito arbitrario de orden impar q, no existen conjuntos con más puntos que q + 1, de los cuales no hay tres colineales, como señaló por primera vez Bose en un artículo de 1947 sobre aplicaciones de este tipo de matemáticas al diseño estadístico de experimentos. Además, por Qvist's theorem, por cualquier punto que no esté en un óvalo pasan cero o dos líneas tangentes de ese óvalo.

A hyperoval (the 4 red points) in the 7 point Fano plane.

Cuando "q" es par, la situación es completamente diferente.

En este caso, pueden existir conjuntos de puntos q + 2, de los cuales no hay tres colineales, en un plano proyectivo finito de orden q y se denominan hiperóvalos; estos son maximal arc de grado 2.

Dado un óvalo hay una tangente única que pasa por cada punto, y si q es par Qvist's theorem, (Qvist (1952)) muestra que todas estas tangentes son concurrentes en un punto P fuera del óvalo. Al agregar este punto (llamado "núcleo" del óvalo o, a veces, "nudo") al óvalo se obtiene un hiperóvalo. Por el contrario, al eliminar "cualquier" punto de un hiperóvalo se obtiene inmediatamente un óvalo.

Como todos los óvalos en el caso de orden par están contenidos en hiperóvalos, una descripción de los hiperóvalos (conocidos) da implícitamente todos los óvalos (conocidos). Los óvalos obtenidos al eliminar un punto de un hiperóvalo son proyectivamente equivalentes si y solo si los puntos eliminados están en la misma órbita del grupo de automorfismos del hiperóvalo. solo hay tres pequeños ejemplos (en los planos desarguesianos) donde el grupo de automorfismo del hiperóvalo es transitivo en sus puntos (ver (Korchmáros, 1978)) por lo que, en general, existen diferentes tipos de óvalos contenidos en un solo hiperóvalo.

Caso desarguesiano: PG(2,2h)

Es el caso más estudiado de estos hiperóvalos.

Cada cónica no singular en el plano proyectivo, junto con su núcleo, forma un hiperóvalo. Estos pueden denominarse hipercónicos', pero el término más tradicional es hiperovales regulares. Para cada uno de estos conjuntos existe un sistema de coordenadas tal que el conjunto es:

Sin embargo, se pueden encontrar muchos otros tipos de hiperóvalos de PG(2, q) si q > 8. Los hiperóvalos de PG(2, q) para q incluso solo se han clasificado para q < 64 to date.

In PG(2,2h), h > 0, un hiperóvalo contiene al menos cuatro puntos, no tres de que son colineales. Así, por el Teorema Fundamental de la Geometría Proyectiva siempre podemos suponer que los puntos con coordenadas proyectivas (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y (1, 1,1) están contenidos en cualquier hiperóvalo. Los puntos restantes del hiperóvalo (cuando h > 1) tendrán la forma (t, f(t),1) donde t abarca los valores del campo finito GF(2h) y f es una función de aquel campo que representa una permutación y puede expresarse de forma única como un polinomio de grado como máximo 2h - 2, es decir, es un permutation polynomial. Observe que f(0) = 0 y f(1) = 1 están obligados por el supuesto relativo a la inclusión de los puntos especificados. Otras restricciones sobre "f" son impuestas por la condición de que no hay tres puntos colineales. Una f que produce un hiperóvalo de esta manera se llama 'o-polinomio'. La siguiente tabla enumera todos los hiperóvalos conocidos (a partir de 2011) de PG(2,2h) dando el polinomio o y cualquier restricción sobre el valor de h que sea necesaria para que la función mostrada sea un polinomio o. Tenga en cuenta que se deben tomar todos los exponentes. mod(2h - 1).

Hiperóvalos conocidos en PG(2,2h)

Nombre O-Polinomio Field Restriction Referencia
Hyperconic f(t)= t2 None Classical
Translation    (i,h)= 1 None (Segre, 1962)
Segre f(t)= t6 h odd (Segre, 1962); (Segre y Bartocci, 1971)
Glynn I f(t)= t3σ+4 (see below) h odd (Glynn, 1983)
Glynn II f(t)= tσ+γ (see below) h odd (Glynn, 1983)
Payne f(t)= t1/6+t1/2+t5/6 h odd (Payne, 1985)
Cherowitzo f(t)= tσ + tσ+2 + t3σ+4 h odd (Cherowitzo, 1986); (Cherowitzo, 1998)
Subiaco see a) below None (Cherowitzo et al., 1996)
Adelaide see b) below h even (Cherowitzo, O'Keefe y Penttila, 2003)
Penttila-O'Keefe see c) below h= 5 (O'Keefe y Penttila, 1992)
where .

a) El polinomio o de Subiaco viene dado por: siempre que , donde tr es la función de traza absoluta de GF(2h). Este o-polinomio da lugar a un hiperóvalo único si y a dos hiperóvalos desiguales si .

b) Para describir los hiperóvalos de Adelaide, comenzaremos en un entorno un poco más general. Sean F = GF(q) y K = GF(q2). Sea un elemento de la norma 1, diferente de 1, es decir bq+1 = 1, . Considere el polinomio, para ,

f(t)= (tr(b))−1tr(bm)(t + 1) + (tr(b))−1tr((bt + bq)m)(t + tr(b)t½+ 1)1−m + t½,

donde tr(x) = trK/F(x) = x + xq. Cuando q = 2h, con h par y m = ±(q - 1)/3, el f(t) anterior es un polinomio o para el hiperóvalo de Adelaida.

c) El polinomio o de Penttila-O'Keefe viene dado por:

f(t)= t4 + t16 + t28 + η11(t6 + t10 + t14 + t18 + t22 + t26) + η20(t8 + t20) + η6(t12 + t24),

donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η5 = η2 + 1.

Hiperóvalos en PG(2, q), q par, q ≤ 64

Como los hiperóvalos en los planos desarguesianos de órdenes 2, 4 y 8 son todos hipercónicos, solo examinaremos los planos de órdenes 16, 32 y 64.

PG(2,16)

En (Lunelli y Sce, 1958) los detalles de una búsqueda de computadora para complete arcs en pequeño pedido se dan aviones realizados por sugerencia de B. Segre. En PG(2,16) encontraron varios hiperóvalos que no eran hipercónicos. En 1975, M. Hall Jr. (Hall, 1975) demostró, también con considerable ayuda de una computadora, que solo había dos clases de hiperóvalos proyectivamente desiguales en este plano, los hipercónicos y los hiperóvalos encontrados por Lunelli y Sce. De los 2040 polinomios o que dan el hiperóvalo de Lunelli-Sce, mostramos solo uno:

f(x)= x12 + x10 + η11x8 + x6 + η2x4 + η9x2,

donde η es un elemento primitivo de GF(16) que satisface η4 = η + 1.

En su artículo de 1975, Hall describió una serie de colineaciones del plano que estabilizaron el hiperóvalo de Lunelli-Sce, pero no demostró que generaran el grupo de automorfismo completo de este hiperóvalo. (Payne y Conklin, 1978), utilizando propiedades de un generalized quadrangle relacionado, demostró que el grupo de automorfismo no podía ser mayor que el grupo dado por Hall. (Korchmáros, 1978) dio de forma independiente una prueba constructiva de este resultado y también demostró que en los planos desarguesianos, el hiperóvalo de Lunelli-Sce es el único hiperóvalo irregular (no hipercónico) que admite un grupo de automorfismo transitivo (y que los únicos hipercónicos que admiten tal grupo son los de órdenes 2 y 4).

(O'Keefe y Penttila, 1991) reprobó el resultado de la clasificación de Hall sin el uso de una computadora. Su argumento consiste en encontrar un límite superior para el número de polinomios o definidos sobre GF(16) y luego, examinando los posibles grupos de automorfismos de hiperóvalos en este plano, demostrar que si un hiperóvalo distinto de los conocidos existiera en este plano entonces se excedería el límite superior. (Brown y Cherowitzo, 1991) proporciona una construcción teórica de grupo del hiperóvalo de Lunelli-Sce como la unión de órbitas del grupo generado por las elaciones de PGU(3,4) considerado como un subgrupo de PGL(3,16). También se incluye en este artículo una discusión sobre algunos aspectos notables Propiedades relativas a las intersecciones de hiperóvalos e hipercónicos de Lunelli-Sce. En (Cherowitzo et al., 1996) se muestra que el hiperóvalo de Lunelli-Sce es el primer miembro no trivial de la familia Subiaco (ver también (Brown y Cherowitzo, 1991)). En (Cherowitzo, O'Keefe y Penttila, 2003) se muestra que es el primer miembro no trivial de la familia Adelaide.

PG(2,32)

Dado que h = 5 es impar, algunas de las familias conocidas tienen aquí un representante, pero debido a la pequeña tamaño del plano existen algunas equivalencias espurias, de hecho, cada uno de los hiperóvalos tipo Glynn es proyectivamente equivalente a un hiperóvalo de traslación, y el hiperóvalo de Payne es proyectivamente equivalente al hiperóvalo de Subiaco (esto no ocurre en planos más grandes). Específicamente, hay tres clases de hiperóvalos (tipo monomio), los hiperóvalos (f(t) = t2), los hiperóvalos de traducción propia (f(t) = t4) y los hiperóvalos de Segre (f(t) = t6).[12]​ También existen clases correspondientes a los hiperóvalos de Payne y a los hiperóvalos de Cherowitzo (por más detalles ver (Cherowitzo, 1988). En (O'Keefe, Penttila y Praeger, 1991) la colineación Se han determinado los grupos que estabilizan cada uno de estos hiperóvalos. Tenga en cuenta que en la determinación original del grupo de colineación para los hiperóvalos de Payne, el caso de "q" = 32 tuvo que tratarse por separado y dependió en gran medida de los resultados de la computadora. En (O'Keefe, Penttila y Praeger, 1991) se proporciona una versión alternativa de la prueba que no dependen de cálculos informáticos.

En 1991, O'Keefe y Penttila descubrieron un nuevo hiperóvalo en este plano mediante un estudio detallado. investigación de las propiedades de divisibilidad de los órdenes de grupos de automorfismos de hipotéticos hiperóvalos (O'Keefe y Penttila, 1992). Uno de sus o-polinomios viene dado por:

f(x)= x4 + x16 + x28 + η11(x6 + x10 + x14 + x18 + x22 + x26) + η20(x8 + x20) + η6(x12 + x24),

donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η5 = η2 + 1. El grupo de automorfismo completo de este hiperóvalo tiene orden 3.

(Penttila y Royle, 1994) estructuró inteligentemente una búsqueda informática exhaustiva de todos los hiperóvalos en este plano. El resultado fue que el listado anterior está completo, solo hay seis clases de hiperóvalos en PG(2,32).

PG(2,64)

Al extender las ideas en (O'Keefe y Penttila, 1992) a PG(2,64), (Penttila y Pinneri, 1994) pudo buscar hiperóvalos cuyo grupo de automorfismo admitiera una colineación de orden 5. Encontraron dos y demostraron que ningún otro En este plano existe un hiperoval que tiene tal automorfismo. Esto resolvió afirmativamente una pregunta largamente abierta de B. Segre que quería saber si en este plano había hiperóvalos además de las hipercónicas. Los hiperóvalos son:

f(x)= x8 + x12 + x20 + x22 + x42 + x52 + η21(x4+x10+x14+x16+x30+x38+x44+x48+x54+x56+x58+x60+x62) + η42(x2 + x6 + x26 + x28 + x32 + x36 + x40),

que tiene un grupo de automorfismo de orden 15, y

f(x)= x24 + x30 + x62 + η21(x4 +x8+x10+x14+x16+x34+x38 +x40 +x44+x46+x52+x54+x58+x60) + η42(x6+ x12+ x18+ x20+ x26+ x32 + x36+ x42+ x48+x50),

que tiene un grupo de automorfismos de orden 60, donde η es un elemento primitivo de GF(64) que satisface η6 = η + 1. En (Cherowitzo et al., 1996) se muestra que estos son hiperóvalos de Subiaco. Al perfeccionar el programa de búsqueda por computadora, (Penttila y Royle, 1994) extendió la búsqueda a hiperóvalos admitiendo un automorfismo de orden 3 y encontró el hiperóvalo:

f(x)= x4 + x8 + x14 + x34 + x42 + x48 + x62 + η21(x6+x16 +x26+x28+x30+x32+x40+x58) + η42(x10 + x18 + x24 + x36 + x44 + x50 + x52+ x60),

que tiene un grupo de automorfismo de orden 12 (η es un elemento primitivo de GF(64) como arriba). Este hiperóvalo es el primer hiperóvalo de Adelaida distinto.

Penttila y Royle (Penttila y Royle, 1995) han demostrado que cualquier otro hiperóvalo en este plano tendría que tener un grupo de automorfismo trivial. Esto significaría que habría muchas copias proyectivamente equivalentes de tal hiperóvalo, pero las búsquedas generales hasta la fecha no han encontrado ninguna, lo que da crédito a la conjetura de que no hay otros en este plano.

Óvalos abstractos

A continuación (Bue1966), un óvalo abstracto, también llamado B-óvalo, de orden es un par donde es un conjunto de elementos , llamados puntos, y es un conjunto de involuciones. actuando sobre de una manera marcadamente cuasi 2-transitiva, es decir, para dos cualesquiera con para , existe exactamente un con y . Cualquier óvalo incrustado en un plano proyectivo de orden puede estar dotado de una estructura de óvalo abstracto del mismo orden. Lo contrario, en general, no es cierto para ; de hecho, para hay dos óvalos abstractos que no pueden estar incrustados en un plano proyectivo, véase (Fa1984).

Cuando es par, una construcción similar produce hiperóvalos abstractos, ver (Po1997): un hiperóvalo abstracto de orden es un par donde es un conjunto de elementos y es un conjunto de involuciones libres de punto fijo actuando sobre de manera que para cualquier conjunto de cuatro elementos distintos hay exactamente un con .

Véase también

Referencias

  1. In the English literature this term is usually rendered in French rather than translating it as a passing line.
  2. Dembowski, 1968
  3. Beutelspacher y Rosenbaum, 1998
  4. B. Segre: Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due, Re. Math. Pures Appl. 2 (1957) pp. 289–300.
  5. Dembowski, 1968
  6. E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), p. 45.
  7. F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens, Arch. d. Math. Vol. XVII, 1966, pp. 89-93.
  8. J. Tits: Ovoides à Translations, Rend. Mat. 21 (1962), pp. 37–59.
  9. H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene, Abh. Math. Sem. Hamburg 45 (1976), pp. 237–244.
  10. Every pappian plane is Desarguesian, and in the finite case the converse is also true. So, for the finite planes, either descriptor is valid, but in the literature for finite planes the term "Desarguesian" predominates.
  11. Th. Buchanan: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene, Math.-phys. Smesterberichte 26 (1979, pp. 244-260.
  12. In smaller order planes these hyperovals are not distinct from hyperconics. The proof of their existence given in Segre y Bartocci (1971) utilizes linearized polynomials.

Bibliografía

Enlaces externos