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Revisión del 09:23 24 oct 2022
En matemáticas, el inmanente de una matriz fue definido por Dudley E. Littlewood[1] y Archibald Read Richardson como una generalización de los conceptos de determinante y permanente.[2]
Sea una partición de un entero y sea el correspondiente carácter de la representación teorética irreducible del grupo simétrico . El inmanente de una matriz de orden asociado con el carácter se define como la expresión
Ejemplos
El determinante es un caso especial del inmanente, donde es la carácter alternante , de Sn, definido por la paridad de una permutación.
El permanente es el caso donde es el carácter trivial, que es idénticamente igual a 1.
Por ejemplo, para las matrices , hay tres representaciones irreducibles de , como se muestra en la tabla de carácteres:
1 | 1 | 1 | |
1 | −1 | 1 | |
2 | 0 | −1 |
Como se indicó anteriormente, produce el permanente y produce el determinante, pero produce la operación que aplica los valores de la siguiente manera:
Propiedades
El inmanente comparte varias propiedades con el determinante y el permanente. En particular, el inmanente es multilineal en las filas y columnas de la matriz; y el inmanente es invariante ante permutaciones simultáneas de las filas o columnas por el mismo elemento del grupo simétrico.
Littlewood y Richardson estudiaron la relación del inmanente con las funciones de Schur en la teoría de la representación del grupo simétrico.[3]
Las condiciones necesarias y suficientes para que el inmanente de una matriz de Gram sea vienen dadas por el teorema de Gamas.
Referencias
- ↑ The Nature of Computation: Logic, Algorithms, Applications: 9th Conference on Computability in Europe, CiE 2013, Milan, Italy, July 1-5, 2013, Proceedings. Springer. 2013. pp. 88 de 446. ISBN 9783642390531. Consultado el 24 de octubre de 2022.
- ↑ Eric W. Weisstein (2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. pp. 1466 de 3252. ISBN 9781420035223. Consultado el 24 de octubre de 2022.
- ↑ Elliott H. Lieb (2012). Inequalities: Selecta of Elliott H. Lieb. Springer Science & Business Media. pp. 7 de 711. ISBN 9783642559259. Consultado el 24 de octubre de 2022.
Bibliografía
- D. E. Littlewood; A.R. Richardson (1934). «Group characters and algebras». Philosophical Transactions of the Royal Society A 233 (721–730): 99-124. doi:10.1098/rsta.1934.0015.
- D. E. Littlewood (1950). The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (2nd edición). Oxford Univ. Press (reprinted by AMS, 2006). p. 81.