Ecuaciones de aguas poco profundas

Resultado de un modelo de ecuación de aguas poco profundas del agua en una bañera. El agua experimenta cinco salpicaduras que generan ondas gravitacionales superficiales que se propagan lejos de los lugares de las salpicaduras y se reflejan en las paredes de la bañera.

Las ecuaciones de aguas someras son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas (o parabólicas si se considera el cizallamiento viscoso) que describen el flujo por debajo de una superficie de presión en un fluido (a veces, pero no necesariamente, una superficie libre). ​ Las ecuaciones de aguas someras en forma unidireccional también se denominan ecuaciones de Saint-Venant, en honor a Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (véase la sección relacionada más adelante).

Las ecuaciones se derivan​ de la integración en profundidad de las ecuaciones de Navier-Stokes, en el caso de que la escala de longitud horizontal sea mucho mayor que la vertical. Bajo esta condición, la conservación de la masa implica que la escala de velocidad vertical del fluido es pequeña comparada con la escala de velocidad horizontal. Se puede demostrar a partir de la ecuación del momento que los gradientes de presión verticales son casi hidrostáticos, y que los gradientes de presión horizontales se deben al desplazamiento de la superficie de presión, lo que implica que el campo de velocidad horizontal es constante en toda la profundidad del fluido. La integración vertical permite eliminar la velocidad vertical de las ecuaciones. De este modo, se obtienen las ecuaciones de aguas poco profundas.

Aunque el término de velocidad vertical no está presente en las ecuaciones de aguas poco profundas, hay que tener en cuenta que esta velocidad no es necesariamente cero. Se trata de una distinción importante porque, por ejemplo, la velocidad vertical no puede ser nula cuando el suelo cambia de profundidad y, por tanto, si fuera nula, sólo los suelos planos podrían utilizarse con las ecuaciones de aguas poco profundas. Una vez que se ha encontrado una solución (es decir, las velocidades horizontales y el desplazamiento de la superficie libre), la velocidad vertical puede recuperarse mediante la ecuación de continuidad.

Las situaciones en la dinámica de fluidos en las que la escala de longitud horizontal es mucho mayor que la escala de longitud vertical son comunes, por lo que las ecuaciones de aguas poco profundas son ampliamente aplicables. Se utilizan con la fuerza de Coriolis en la modelización atmosférica y oceánica, como simplificación de las ecuaciones primitivas del flujo atmosférico.

Los modelos de ecuaciones de aguas someras sólo tienen un nivel vertical, por lo que no pueden abarcar directamente ningún factor que varíe con la altura. Sin embargo, en los casos en que el estado medio es suficientemente simple, las variaciones verticales pueden separarse de las horizontales y varios conjuntos de ecuaciones de aguas someras pueden describir el estado.