Problema de Lambert

En mecánica celeste, el problema de Lambert se refiere a la determinación de una órbita a partir de dos vectores de posición y el lapso de viaje entre ellos, planteado en el siglo XVIII por Johann Heinrich Lambert y resuelto formalmente con demostración matemática por Joseph-Louis Lagrange . Tiene aplicaciones importantes en las áreas de encuentro, apuntado, orientación y determinación preliminar de órbitas. ​

Supóngase que se observa que un cuerpo bajo la influencia de una fuerza gravitacional central viaja de un punto P1 por una trayectoria cónica a un punto P2 en un tiempo T. La duración del vuelo está relacionado a otras variables por el teorema de Lambert, que dice:

El tiempo de transferencia de un cuerpo que se mueve entre dos puntos con una trayectoria cónica es sólo función de la suma de las distancias de los dos puntos al origen de la fuerza, la distancia lineal entre los puntos, y el semieje mayor de la cónica.​

Dicho de otra manera, el problema de Lambert es el problema de condición de frontera para la ecuación diferencial

${\ddot {\bar {r}}}=-\mu \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}\ \$

del problema de los dos cuerpos cuándo la masa de uno de los cuerpos es infinitesimal; este subconjunto del problema de dos cuerpos es conocido como órbita de Kepler .

La formulación precisa del problema de Lambert es la siguiente:

Dados dos tiempos diferentes $\ t_{1}\ ,\ t_{2}\$ y dos vectores de posición ${\bar {r}}_{1}=r_{1}{\hat {r}}_{1},\ {\bar {r}}_{2}=r_{2}{\hat {r}}_{2}\$.

Encuentre la solución ${\bar {r}}(t)$ que satisface la ecuación diferencial por la que

${\bar {r}}(t_{1})={\bar {r}}_{1}$

${\bar {r}}(t_{2})={\bar {r}}_{2}.$

Análisis geométrico inicial

Figura 1: $F_{1}$ es el centro de atracción, $P_{1}$ es el punto que corresponde al vector ${\bar {r}}_{1}\$, y $P_{2}$ es el punto que corresponde a vector ${\bar {r}}_{2}\$

Figura 2: Hipérbola con los puntos $P_{1}\$y $P_{2}\$en el foco que pasa a través de$F_{1}\$

Figura 3: Ellipse con los puntos $F_{1}\$ y $F_{2}\$en los focos que pasa por $P_{1}\$y $P_{2}\$

Los tres puntos

$F_{1}$, el centro de atracción,

$P_{1}$, el punto que corresponde a vector ,${\bar {r}}_{1}\$

$P_{2}$, el punto que corresponde a vector ,${\bar {r}}_{2}\$

forman un triángulo en el plano definido por los vectores ${\bar {r}}_{1}\$y ${\bar {r}}_{2}\$como se muestra en en figura 1. La distancia entre los puntos $P_{1}\$y $P_{2}\$es $2d\$, la distancia entre los puntos $P_{1}\$y $F_{1}\$es $r_{1}=r_{m}-A\$ y la distancia entre los puntos $P_{2}\$y $F_{1}\$es .$r_{2}=r_{m}+A\$. El valor de $A\$es positivo o negativo dependiendo de cuál de los puntos $P_{1}\$y $P_{2}\$ está mas alejado del punto $F_{1}\$. El problema geométrico a solucionar consiste en encontrar todas las elipses que pasan por los puntos $P_{1}\$y $P_{2}\$y tienen un foco en el punto $F_{1}\$ .

Los puntos $F_{1}\$, $P_{1}\$ y $P_{2}\$definen una hipérbola que pasa por el punto $F_{1}\$ con foco en los puntos $P_{1}\$ y $P_{2}\$. El punto $F_{1}\$ está en la rama izquierda o derecha de la hipérbola dependiendo del signo de $A\$.. El semieje mayor de esta hipérbola es $|A|\$ y la excentricidad $E\$ es ${\frac {d}{|A|}}\$. Esta hipérbola está ilustrada en la figura 2.

Su ecuación relativa al sistema de coordenada canónico habitual definido por los ejes mayor y menor de la hipérbola es

${\frac {x^{2}}{A^{2}}}-{\frac {y^{2}}{B^{2}}}=1\quad (1)$

Con

$B=|A|{\sqrt {E^{2}-1}}={\sqrt {d^{2}-A^{2}}}\quad (2)$

Para cualquier punto en la misma rama de la hipérbola, como $F_{1}\$, la diferencia entre las distancias $r_{2}\$ al punto $P_{2}\$ y $r_{1}\$al punto $P_{1}\$ es

$r_{2}-r_{1}=2A\quad (3)$

Para cualquier punto $F_{2}\$ en la otra rama de la hipérbola la relación correspondiente es

$s_{1}-s_{2}=2A\quad (4)$

i.e.

$r_{1}+s_{1}=r_{2}+s_{2}\quad (5)$

Pero esto significa que los puntos $P_{1}\$ y $P_{2}\$se encuentran ambos en la elipse que tiene los puntos focales $F_{1}\$y $F_{2}\$y el semieje mayor

$a={\frac {r_{1}+s_{1}}{2}}={\frac {r_{2}+s_{2}}{2}}\quad (6)$

La elipse correspondiente a un punto $F_{2}\$seleccionado arbitrariamente es mostrada en figura 3.

Solución para una órbita de transferencia elíptica supuesta

Primero hay que separan los casos según el polo orbital este en la dirección ${\bar {r}}_{1}\times {\bar {r}}_{2}\$ o en la dirección $-{\bar {r}}_{1}\times {\bar {r}}_{2}\$. En el primer caso el ángulo de transferencia $\alpha$ para el primer paso a través de ${\bar {r}}_{2}$ será en el intervalo $\ 0<\alpha <180^{\circ }$ y en el segundo caso será en el intervalo $180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$. A partir de ahí ${\bar {r}}(t)$ continuará pasando a través de ${\bar {r}}_{2}$ en cada revolución orbital.

En el caso que ${\bar {r}}_{1}\times {\bar {r}}_{2}\$sea cero, i.e. ${\bar {r}}_{1}$ y ${\bar {r}}_{2}\$están en direcciones opuestas, todos los planos orbitales que contienen la línea correspondiente son igualmente adecuados y el ángulo de transferencia $\alpha$ para el primer paso por ${\bar {r}}_{2}$ será $180^{\circ }$.

Para cualquier $\alpha$ con$\ 0<\alpha <\infty$ el triángulo formado por $P_{1}\$, $P_{2}\$ y $F_{1}\$es como en la figura 1 con

$d={\frac {\sqrt {{r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \alpha }}{2}}\quad (7)$

Y el semieje mayor (con signo!) de la hipérbola discutida anteriormente es

$A={\frac {r_{2}-r_{1}}{2}}\quad (8)$

La excentricidad (con signo!) para la hipérbola es

$E={\frac {d}{A}}\quad (9)$

Y el semieje menor es

$B=|A|{\sqrt {E^{2}-1}}={\sqrt {d^{2}-A^{2}}}\quad (10)$

Las coordenadas del punto $F_{1}\$relativas al sistema de coordenada canónico para la hipérbola es (teniendo en cuenta que $E$ tiene el signo de $r_{2}-r_{1}$)

$x_{0}=-{\frac {r_{m}}{E}}\quad (11)$

$y_{0}=B{\sqrt {{\left({\frac {x_{0}}{A}}\right)}^{2}-1}}\quad (12)$

dónde

$r_{m}={\frac {r_{2}+r_{1}}{2}}\quad (13)$

Utilizando la coordenada y del punto $F_{2}\$en la otra rama de la hipérbola como parámetro libre la coordenada x de $F_{2}\$ es (nota que $A$ tiene el signo de $r_{2}-r_{1}$)

$x=A{\sqrt {1+{\left({\frac {y}{B}}\right)}^{2}}}\quad (14)$

El semieje mayor de la elipse que pasa por los puntos $P_{1}\$ y $P_{2}\$teniendo como focos $F_{1}\$ y $F_{2}\$es

$a={\frac {r_{1}+s_{1}}{2}}={\frac {r_{2}+s_{2}}{2}}\ ={\frac {r_{m}+Ex}{2}}\quad (15)$

La distancia entre los focos es

${\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}\quad (16)$

Y la excentricidad es, consiguientemente

$e={\frac {\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}{2a}}\quad (17)$

La anomalía verdadera $\theta _{1}$ en el punto $P_{1}\$depende de la dirección de movimiento, i.e. si $\sin \alpha$ es positivo o negativo. En ambos casos se tiene que

$\cos \theta _{1}=-{\frac {(x_{0}+d)f_{x}+y_{0}f_{y}}{r_{1}}}\quad (18)$

dónde

$f_{x}={\frac {x_{0}-x}{\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}}\quad (19)$

$f_{y}={\frac {y_{0}-y}{\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}}\quad (20)$

es el vector de unidad en la dirección de $F_{2}$ a $F_{1}$ expresado en las coordenadas canónicas.

Si $\sin \alpha$ es positivo entonces

$\sin \theta _{1}={\frac {(x_{0}+d)f_{y}-y_{0}f_{x}}{r_{1}}}\quad (21)$

Si $\sin \alpha$ es negativo entonces

$\sin \theta _{1}=-{\frac {(x_{0}+d)f_{y}-y_{0}f_{x}}{r_{1}}}\quad (22)$

Con

• Semieje mayor
• Excentricidad
• Anomalía verdadera inicial

siendo funciones conocidas del parámetro y el aumento del tiempo para la anomalía verdadera cuando crece $\alpha$ siendo también una función conocida de y. Si $t_{2}-t_{1}$ está en el rango que puede ser obtenido con un orbita eliptica de Kepler el valor correspondiente a y puede ser encontrado utilizando un algoritmo iterativo.

En el caso especial que $r_{1}=r_{2}$ (o muy cercano) $A=0$ y la hipérbola con dos ramas se deteriora a una unica línea ortogonal a la línea entre $P_{1}$ y $P_{2}$ con la ecuación

$x=0\quad (1')$

Las ecuaciones (11) y (12) son entonces reemplazadas con

$x_{0}=0\quad (11')$

$y_{0}={\sqrt {{r_{m}}^{2}-d^{2}}}\quad (12')$

(14) es reemplazada por

$x=0\quad (14')$

Y (15) es reemplazada por

$a={\frac {r_{m}+{\sqrt {d^{2}+y^{2}}}}{2}}\quad (15')$

Ejemplo numérico

Figura 4: El tiempo de transferencia con  : r1 = 10000 km : r2 = 16000 km : α = 120° como función de y cuándo y varía de −20000 km a 50000 km. El tiempo de transferencia decrece de 20741 segundos con y = −20000 km a 2856 segundos con y = 50000 km. Para cualquier valor entre 2856 segundos y 20741 segundos el problema del Lambert puede ser solucionado utilizando un valor de y entre −20000 km y 50000 km

Asuma los valores siguientes para una órbita de Kepler centrada en la Tierra

• r1 = 10000 km
• r2 = 16000 km
• α = 100°

Estos son los valores numéricos que corresponden a figuras 1, 2, y 3.

Seleccionando el parámetro y como 30000 km se consigue un tiempo de transferencia de 3072 segundos asimiendo la constante de gravitación como $\mu$= 398603 km3/s2. Los elementos orbitales correspondientes son

• Semieje mayor = 23001 km
• Excentricidad = 0.566613
• Anomalía verdadera en tiempo t1 = −7.577°
• Anomalía verdadera en tiempo t2 = 92.423°

Este valor de y corresponde a la figura 3.

Con

• r1 = 10000 km
• r2 = 16000 km
• α = 260°

se obtiene la misma elipse con la dirección opuesta de movimiento, i.e.

• Anomalía verdadera en tiempo t1 = 7.577°
• Anomalía verdadera en tiempo t2 = 267.577° = 360° − 92.423°

Y un tiempo de transferencia de 31645 segundos.

Los componentes radial y tangencial de la velocidad entonces pueden ser calculados con las fórmulas (ver el artículo de órbita del Kepler)

$V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta \$

$V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta ).$

El tiempo de transferencia de P1 a P2 para otros valores de y se muestra en la figura 4.

Aplicaciones prácticas

El uso más típico de este algoritmo para solucionar el problema de Lambert es seguramente el diseño de misiones interplanetarias. Una nave que viaja de la Tierra a, por ejemplo, Marte puede en primera aproximación considerarse que sigue una órbita de Kepler elíptica heliocéntrica desde la posición de la Tierra en el tiempo de lanzador a la posición de Marte en el tiempo de llegada. Comparando los vectores de velocidad inicial y final de esta órbita de Kepler heliocéntrica con los vectores de velocidad correspondientes para la Tierra y Marte se puede obtener una estimación bastante buena de la energía de lanzado requerida y de la de las maniobras necesitadas para la captura en Marte. Esta aproximación es a menudo utilizada conjuntamente con la aproximación cónica parcheada.

Es también un método para la determinación de órbita. Si dos posiciones de una aeronave en diferentes momentos se conocen con buena precisión (por ejemplo por GPS fija) se puede derivar la órbita completa con este algoritmo, i.e. se obtiene una interpolación y una extrapolación de esta dos posición fijas.

Parametrización de las trayectorias de transferencia

Se pueden parametrizar todas las posibles órbitas que pasan a través de los dos puntos ${\vec {r}}_{1}$ y ${\vec {r}}_{2}$ utilizando un único parámetro $\gamma$.

El semieje menor $p$ está dado por:$p={\frac {\left(|{\vec {r}}_{1}|+|{\vec {r}}_{2}|\right)\left(|{\vec {r}}_{1}||{\vec {r}}_{2}|-{\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}+\gamma {\hat {N}}\cdot ({\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2})\right)}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{2}}}$

El vector de excentricidad ${\vec {e}}$ está dado por:${\vec {e}}={\frac {\left((|{\vec {r}}_{1}|-|{\vec {r}}_{2}|)({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})-\gamma (r_{1}+r_{2}){\hat {N}}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\right)}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{2}}}$

Dónde ${\hat {N}}=\pm {\frac {{\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2}}{|{\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2}|}}$ es la normal a la órbita. Dos valores especiales de $\gamma$ existen

El extremal $\gamma$ :$\gamma _{0}=-\left({\frac {|{\vec {r}}_{1}||{\vec {r}}_{2}|-{\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}}{{\hat {N}}\cdot ({\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2})}}\right)$

El $\gamma$ que produce una parábola$:\gamma _{p}={\frac {\sqrt {2\left(|{\vec {r}}_{1}||{\vec {r}}_{2}|-{\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}\right)}}{|{\vec {r}}_{1}+{\vec {r}}_{2}|}}$

Código Open source

• De MATLAB central
• PyKEP Una biblioteca de Python para mecánica de vuelo espacial y astrodinámica (contiene un resolvedor de Lambert , implementado en C++ y expuesto a python vía boost python)

 

External links

Lambert's theorem through an affine lens. Paper de Alain Albouy que contiene una discusión moderna sobre el problema de Lambert y una linea de tiempo histórica. arΧiv:1711.03049

Revisiting Lambert's Problem. Paper de Dario Izzo que contiene un algoritmo para proporcionar un estimado preciso para el método Householder iterativo que es tan preciso como el Procedimiento de Gooding mientras que computacionalmente es más eficiente. doi 10.1007/s10569-014-9587-y