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La teselación de Penrose es un ejemplo de mosaico aperiódico; cada mosaico que puede producir carece de simetría traslacional

Un teselado aperiódico es un tipo de teselado no periódico con la propiedad adicional de que no contiene zonas periódicas arbitrariamente grandes. Un conjunto de tipos de mosaicos (o prototeselas) es aperiodico si las copias de estos mosaicos solo pueden formar enlosados que no sean periódicas. Los Teselación de Penroses[1]​[2]​ son los ejemplos más conocidos de mosaicos aperiódicos.

Los mosaicos aperiódicos sirven como modelos matemáticos para cuasicristales, sólidos físicos que fueron descubiertos en 1982 por Dan Shechtman,[3]​ quien posteriormente ganó el premio Nobel en 2011.[4]​ Sin embargo, la estructura local específica de estos materiales aún no se comprende bien.

Se conocen varios métodos para construir revestimientos del plano aperiódicos.

Definición e ilustración

Considérese un mosaico periódico por unidades cuadradas (parece infinito graph paper). Ahora corta un cuadrado en dos rectángulos. El mosaico obtenido de esta manera no es periódico: no hay un desplazamiento distinto de cero que deje fijo este mosaico. Pero claramente este ejemplo es mucho menos interesante que el mosaico de Penrose. Para descartar ejemplos tan aburridos, se define un mosaico aperiódico como uno que no contiene partes periódicas arbitrariamente grandes.

Un mosaico se llama aperiódico si su casco contiene solo mosaicos no periódicos. El hull de un mosaico contiene todas las traducciones T + x de T , junto con todos los mosaicos que se pueden aproximar mediante traducciones de T . Formalmente, este es el cierre del conjunto en la topología local.[5]​ En la topología local (resp. La métrica correspondiente) dos teselados están -cerca si coinciden en una bola de radio alrededor del origen (posiblemente después de desplazar uno de los teselados en una cantidad menor que ).

Para dar un ejemplo aún más simple que el anterior, considere un mosaico unidimensional T de la línea que se parece a Plantilla:Not a typo donde a representa un intervalo de longitud uno, b representa un intervalo de longitud dos. Así, el mosaico "T" consta de un número infinito de copias de "a" y una copia de "b" (con centro 0, digamos). Ahora, todas las traducciones de "T" son las teselaciones con una "b" en alguna parte y "a" en otra parte. La secuencia de mosaicos donde b se centra en converge, en la topología local, al mosaico periódico que consta de solo a . Por lo tanto, T no es un mosaico aperiódico, ya que su casco contiene el mosaico periódico Plantilla:Not a typo

Para los mosaicos con buen comportamiento (por ejemplo, mosaicos de sustitución con un número finito de patrones locales) se cumple: si un mosaico no es periódico y repetitive (es decir, cada parche ocurre de forma uniformly dense en todo el mosaico), entonces es aperiódico.[5]​

Historia

La primera aparición específica de teselaciones aperiódicas surgió en 1961, cuando el lógico Hao Wang trató de determinar si Domino Problem es decidible, es decir, si existe un algoritmo para decidir si un conjunto finito dado de prototiles admite una teselación del plano. Wang encontró algoritmos para enumerar los conjuntos de mosaicos que no pueden enlosar el plano y los conjuntos de mosaicos que lo mosaico periódicamente; con esto demostró que tal algoritmo de decisión existe si cada conjunto finito de prototipos que admite un mosaico del plano también admite un mosaico periódico. En 1964, Robert Berger encontró un conjunto aperiódico de prototipos a partir del cual demostró que el problema del mosaico no es decidible.[6]​[7]​ Este primer conjunto de este tipo, utilizado por Berger en su prueba de indecidibilidad, requirió 20.426 fichas Wang. Berger luego redujo su set a 104, y Hans Läuchli posteriormente encontró un set aperiódico que requería solo 40 fichas Wang.[8]​ Raphael M. Robinson descubrió un conjunto aún más pequeño de seis mosaicos aperiódicos (basados ​​en mosaicos de Wang) en 1971.[9]​ Roger Penrose descubrió tres juegos más en 1973 y 1974, reduciendo el número de mosaicos necesarios a dos, y Robert Ammann descubrió varios juegos nuevos en 1977.[8]​

Las teselaciones aperiódicas de Penrose pueden generarse no solo mediante un conjunto aperiódico de prototipos, sino también mediante un substitution y un cut-and-project method. Después del descubrimiento de los cuasicristales, los materiales aperiódicos son estudiados intensamente por físicos y matemáticos. El método de cortar y proyectar de N.G. de Bruijn para los mosaicos de Penrose finalmente resultó ser una instancia de la teoría de Meyer set.[10]​[11]​ Hoy en día existe una gran cantidad de literatura sobre revestimientos aperiódicos.[5]​

Construcciones

Se conocen algunas construcciones de mosaicos aperiódicos. Algunas construcciones se basan en familias infinitas de conjuntos aperiódicos de tejas.[12]​[13]​ Las construcciones que se han encontrado se construyen en su mayoría de varias formas, principalmente forzando algún tipo de estructura jerárquica no periódica. A pesar de esto, el undecidability del Domino Problem asegura que debe haber una infinidad de principios de construcción distintos y que, de hecho, existen conjuntos aperiódicos de baldosas para los que no puede haber prueba de su aperiodicidad.

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Mosaicos jerárquicos aperiódicos

Hasta la fecha, no existe una definición formal que describa cuándo un mosaico tiene una estructura jerárquica; sin embargo, está claro que los mosaicos de sustitución los tienen, al igual que los mosaicos de Berger, Knuth, Läuchli y Robinson. Al igual que con el término "mosaico aperiódico", el término "mosaico aperiódico" jerárquico "es una abreviatura conveniente, que significa algo así como" un conjunto de mosaicos que solo admiten mosaicos no periódicos con una estructura jerárquica ".

Cada uno de estos conjuntos de mosaicos, en cualquier mosaico que admitan, fuerza una estructura jerárquica particular. (En muchos ejemplos posteriores, esta estructura se puede describir como un sistema de mosaico de sustitución; esto se describe a continuación). Ningún mosaico admitido por tal conjunto de mosaicos puede ser periódico, simplemente porque ninguna traducción única puede dejar invariable la estructura jerárquica completa. Considere las fichas de 1971 de Robinson:

The Robinson Tiles

Cualquier mosaico de estos mosaicos solo puede exhibir una jerarquía de celosías cuadradas: cada cuadrado naranja está en la esquina de un cuadrado naranja más grande, ad infinitum. Cualquier traducción debe ser más pequeña que algún tamaño de cuadrado y, por lo tanto, no puede dejar invariable dicho mosaico.

A portion of tiling by the Robinson tiles

Robinson demuestra que estos mosaicos deben formar esta estructura de manera inductiva; en efecto, los mosaicos deben formar bloques que encajen entre sí como versiones más grandes de los mosaicos originales, y así sucesivamente. Esta idea, de encontrar conjuntos de mosaicos que solo pueden admitir estructuras jerárquicas, se ha utilizado en la construcción de los conjuntos aperiódicos de mosaicos más conocidos hasta la fecha.

Sustituciones

Artículos principales: Substitution tiling y Sistema-L.

Los sistemas de azulejos de sustitución proporcionan una rica fuente de revestimientos aperiódicos. Se dice que un conjunto de mosaicos que fuerza a emerger una estructura de sustitución aplica la estructura de sustitución. Por ejemplo, los mosaicos de sillas que se muestran a continuación admiten una sustitución, y una parte de un mosaico de sustitución se muestra a la derecha a continuación. Estos mosaicos de sustitución son necesariamente no periódicos, exactamente de la misma manera que se describió anteriormente, pero el mosaico de la silla en sí no es aperiódico; es fácil encontrar mosaicos periódicos con mosaicos de silla sin marcar.

The chair substitution tiling system.

Sin embargo, los mosaicos que se muestran a continuación fuerzan a emerger la estructura de sustitución de la silla, por lo que son aperiódicos.[14]​

The Trilobite and Cross tiles enforce the chair substitution structure—they can only admit tilings in which the chair substitution can be discerned and so are aperiodic.

Los mosaicos de Penrose, y poco después los diferentes conjuntos de mosaicos de Amman,[15]​, fueron el primer ejemplo basado en forzar explícitamente la aparición de una estructura de mosaico de sustitución. Joshua Socolar,[16]​[17]​ Roger Penrose,[18]​ Ludwig Danzer,[19]​ y Chaim Goodman-Strauss[14]​ han encontrado varios conjuntos posteriores. Shahar Mozes dio la primera construcción general, mostrando que todos los productos de los sistemas de sustitución unidimensionales se pueden aplicar mediante reglas de coincidencia.[13]​ Charles Radin encontró reglas que hacen cumplir el sistema Conway-pinwheel substitution tiling.[20]​ En 1998, Goodman-Strauss mostró que se pueden encontrar reglas de emparejamiento locales para forzar cualquier estructura de mosaico de sustitución, sujeto a algunas condiciones leves.[12]​

Método de cortar y proyectar

Los mosaicos no periódicos también se pueden obtener mediante la proyección de estructuras de mayor dimensión en espacios con menor dimensionalidad y, en algunas circunstancias, puede haber mosaicos que refuercen esta estructura no periódica y, por lo tanto, sean aperiódicos. Las baldosas de Penrose son el primer y más famoso ejemplo de esto, como se señaló por primera vez en el trabajo pionero de de Bruijn.[21]​ Aún no existe una caracterización completa (algebraica) de los mosaicos de corte y proyecto que se pueda hacer cumplir mediante reglas de coincidencia, aunque se conocen numerosas condiciones necesarias o suficientes.[22]​

Some tilings obtained by the cut and project method. The cutting planes are all parallel to the one which defines Penrose tilings (the fourth tiling on the third line). These tilings are all in different local isomorphism classes, that is, they are locally distinguishable.

Otras técnicas

Solo se han encontrado algunos tipos diferentes de construcciones. En particular, Jarkko Kari proporcionó un conjunto aperiódico de mosaicos de Wang basado en multiplicaciones por 2 o 2/3 de números reales codificados por líneas de mosaicos (la codificación está relacionada con Sturmian sequences hecha como las diferencias de elementos consecutivos de Teorema de Beatty), con la aperiodicidad principalmente basada en sobre el hecho de que 2n / 3m nunca es igual a 1 para ningún entero positivo nym.[23]​ Este método fue posteriormente adaptado por Goodman-Strauss para dar un conjunto de mosaicos fuertemente aperiódicos en el plano hiperbólico.[24]​ Shahar Mozes ha encontrado muchas construcciones alternativas de conjuntos aperiódicos de mosaicos, algunos en entornos más exóticos; por ejemplo, en Grupo de Lie semi-simples.[25]​ Block y Weinberger utilizaron métodos homológicos para construir conjuntos aperiódicos de mosaicos para todos los que no eran amenable manifolds.[26]​ Joshua Socolar también dio otra forma de hacer cumplir la aperiodicidad, en términos de "condición alterna".[27]​ Esto generalmente conduce a conjuntos de mosaicos mucho más pequeños que el derivado de sustituciones.

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Física

Artículo principal: Cuasicristal

Los mosaicos aperiódicos se consideraron artefactos matemáticos hasta 1984, cuando el físico Dan Shechtman anunció el descubrimiento de una fase de una aleación de aluminio-manganeso que produjo un difractograma nítido con una simetría quíntuple inequívoca[3]​, por lo que tenía que ser una sustancia cristalina con simetría icosaédrica. En 1975, Robert Ammann ya había ampliado la construcción de Penrose a un equivalente icosaédrico tridimensional. En tales casos, el término "embaldosado" significa "llenar el espacio". Los dispositivos fotónicos se construyen actualmente como secuencias aperiódicas de diferentes capas, siendo así aperiódicas en una dirección y periódicas en las otras dos. Las estructuras cuasicristalinas de Cd-Te parecen consistir en capas atómicas en las que los átomos están dispuestos en un patrón aperiódico plano. A veces se produce un mínimo energético o un máximo de entropía para tales estructuras aperiódicas. Steinhardt ha demostrado que los decagones superpuestos de Gummelt permiten la aplicación de un principio extremo y, por lo tanto, proporcionan el vínculo entre las matemáticas del revestimiento aperiódico y la estructura de los cuasicristales.[28]​ Se ha observado que los Faraday wave forman grandes parches de patrones aperiódicos.[29]​ La física de este descubrimiento ha revivido el interés en estructuras y frecuencias inconmensurables que sugieren vincular teselaciones aperiódicas con fenómenos interference.[30]​

Confusión con respecto a la terminología

El término "aperiódico" se ha utilizado en una amplia variedad de formas en la literatura matemática sobre teselaciones (y también en otros campos matemáticos, como los sistemas dinámicos o la teoría de grafos, con significados completamente diferentes). Con respecto a las teselaciones, el término aperiódico se utilizó a veces como sinónimo del término no periódico. Un mosaico "no periódico" es simplemente uno que no está fijado por ninguna traducción no trivial. A veces, el término describe, implícita o explícitamente, un mosaico generado por un conjunto aperiódico de prototipos. Con frecuencia, el término aperiódico se usó vagamente para describir las estructuras en consideración, refiriéndose a sólidos físicos aperiódicos, a saber, cuasicristales, o algo no periódico con algún tipo de orden global.

El uso de la palabra "mosaico" también es problemático, a pesar de su sencilla definición. No hay un solo Teselación de Penrose, por ejemplo: los rombos de Penrose admiten infinitas teselaciones (que no se pueden distinguir localmente). Una solución común es tratar de usar los términos con cuidado en la redacción técnica, pero reconociendo el uso generalizado de los términos informales.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Gardner, Martin (January 1977). «Mathematical Games». Scientific American 236 (1): 111-119. Bibcode:1977SciAm.236a.110G. doi:10.1038/scientificamerican0177-110. 
  2. ↑ Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. W H Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8. (requiere registro). 
  3. ↑ a b Schechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, J.W. (1984). «Metallic Phase with long-range orientational order and no translational symmetry». Physical Review Letters 53 (20): 1951-1953. Bibcode:1984PhRvL..53.1951S. doi:10.1103/PhysRevLett.53.1951. 
  4. ↑ «The Nobel Prize in Chemistry 2011». Nobelprize.org. Consultado el 6 de octubre de 2011. 
  5. ↑ a b c Baake, M.; Grimm, Uwe (2013). Aperiodic Order. Vol 1: A Mathematical Invitation. Cambridge University Press. 
  6. ↑ Teselado aperiódico en el Mathematics Genealogy Project..
  7. ↑ Berger, Robert (1966). «The undecidability of the domino problem». Memoirs of the American Mathematical Society (66): 1-72. 
  8. ↑ a b Grünbaum and Shephard, section 11.1.
  9. ↑ Robinson, Raphael M. (1971). «Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane». Inventiones Mathematicae 12 (3): 177-209 (s2cid:14259496). Bibcode:1971InMat..12..177R. doi:10.1007/BF01418780. 
  10. ↑ Lagarias, J.C. (1996). «Meyer's concept of quasicrystal and quasiregular sets». Commun. Math. Phys. 179 (2): 356-376 (s2cid:122753893). Bibcode:1996CMaPh.179..365L. doi:10.1007/BF02102593. 
  11. ↑ Moody, R.V. (1997). Meyer sets and their duals. «The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order». The Mathematics of Long Range Aperiodic Order, NATO ASI Series C (489). pp. 403-441. ISBN 978-90-481-4832-5. doi:10.1007/978-94-015-8784-6_16. 
  12. ↑ a b Goodman-Strauss, Chaim (1998). «Matching rules and substitution tilings». Annals of Mathematics 147 (1): 181-223. JSTOR 120988. doi:10.2307/120988.  Parámetro desconocido |citeseerx= ignorado (ayuda)
  13. ↑ a b Mozes, S. (1989). «Tilings, substitution systems and dynamical systems generated by them». Journal d'Analyse Mathématique 53 (1): 139-186 (s2cid: 121775031). doi:10.1007/BF02793412. 
  14. ↑ a b Goodman-Strauss, Chaim (1999). «A small aperiodic set of planar tiles». European Journal of Combinatorics 20 (5): 375-384. doi:10.1006/eujc.1998.0281. 
  15. ↑ Grünbaum, Branko; Geoffrey C. Shephard (1986). Tilings and Patterns. W.H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0. 
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  25. ↑ Mozes, Shahar (1997). «Aperiodic tilings». Inventiones Mathematicae 128 (3): 603-611 (s2cid: 189819776). Bibcode:1997InMat.128..603M. doi:10.1007/s002220050153. 
  26. ↑ Block, J.; Weinberger, S. (1992). «Aperiodic tilings, positive scalar curvature and amenability of spaces». Journal of the AMS 5 (4): 907-918. doi:10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x. 
  27. ↑ Socolar, Joshua (1990). «Weak matching rules for quasicrystals». Comm. Math. Phys. 129 (3): 599-619 (s2cid: 123629334). Bibcode:1990CMaPh.129..599S. doi:10.1007/BF02097107. 
  28. ↑ Steinhardt, Paul J. «A New Paradigm for the Structure of Quasicrystals». Archivado desde el original el 23 February 2007. Consultado el 26 de marzo de 2007.  Parámetro desconocido |url-status= ignorado (ayuda)
  29. ↑ Edwards, W.; Fauve, S. (1993). «Parametrically excited quasicrystalline surface waves». Physical Review E 47 (2): R788-R791. Bibcode:1993PhRvE..47..788E. PMID 9960162. doi:10.1103/PhysRevE.47.R788. 
  30. ↑ Levy, J-C. S.; Mercier, D. (2006). «Stable quasicrystals». Acta Phys. Superficierum 8: 115. 

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