Efecto Voigt

Esquema del efecto Kerr polar, efecto Kerr longitudinal y efecto Voigt.

El efecto Voigt es un fenómeno magneto-óptico que gira y elliptiza la luz polarizada linealmente enviada a un medio ópticamente activo. ​ A diferencia de muchos otros efectos magneto-ópticos como el efecto Kerr o Faraday, que son linealmente proporcionales a la magnetización (o al campo magnético aplicado para un material no magnetizado), el efecto Voigt es proporcional al cuadrado de la magnetización (o cuadrado de el campo magnético ) y se puede ver experimentalmente en incidencia normal. Existen varias denominaciones para este efecto en la literatura: el efecto Cotton-Mouton (en referencia a los científicos franceses Aimé Cotton y Henri Mouton ), el efecto Voigt (en referencia al científico alemán Woldemar Voigt ) y la birrefringencia magnético-lineal . Esta última denominación es más cercana en el sentido físico, donde el efecto Voigt es una birrefringencia magnética del material con un índice de refracción paralelo ( Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>n_{\parallel}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $n_{\parallel }$ </mo></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$n_{\parallel }$ $n_{\parallel }$ </img> ) y perpendicular Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mo stretchy="false"> <math>(n_{\perp}} </mo><msub><mi> $(n_{\perp }$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $(n_{\perp }$ </mo></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$(n_{\perp }$ $(n_{\perp }$ </img> ) al vector de magnetización o al campo magnético aplicado.

Para una onda incidente electromagnética polarizada linealmente Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><msub><mi> <math>\vec{E_i} = \begin{pmatrix} \cos \beta \\ \sin \beta \\ 0 \end{pmatrix} e^{-i \omega (t-n_1 z /c)}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mtable rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mn></mtd></mtr></mtable><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo></mrow></mrow><msup><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><msub><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mn></mrow></msub><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo></mrow><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo></mrow></msup></mstyle></mrow> </math>${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </img> y una muestra polarizada en el plano Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \\ 0 \end{pmatrix}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo><mtable rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mi><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo><mi> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mi><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo><mi> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mn></mtd></mtr></mtable><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </img> , la expresión de la rotación en geometría de reflexión es Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\delta \beta} </mi><mi> $\delta \beta$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\delta \beta$ $\delta \beta$ </img> es  :

$$\delta \beta _{r}={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )]$$

y en la geometría de transmisión.  :

$$\quad \delta \beta _{t}={\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}$$

donde Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi mathvariant="normal"> <math>\Delta n = \frac{{n_{\parallel}-n_{\perp}}}{2}} </mi><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msub><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo></mrow></msub><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo><msub><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo></mrow></msub></mrow><mn> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow> </math>$\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </img> es la diferencia de los índices de refracción dependiendo del parámetro Voigt. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>Q=Q_i+i Q_r} </mi><mo> $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ </mo><msub><mi> $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ </mi></mrow></msub><mo> $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ </mo><mi> $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ </mi><msub><mi> $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$Q=Q_{i}+iQ_{r}$ $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ </img> (igual que para el efecto Kerr), Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>n_0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $n_{0}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$n_{0}$ $n_{0}$ </img> los índices de refracción del material y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_1} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$B_{1}$ $B_{1}$ </img> el parámetro responsable del efecto Voigt y por lo tanto proporcional a la Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msup><mi> <math>M^2} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $M^{2}$ </mn></mrow></msup></mstyle></mrow> </math>$M^{2}$ $M^{2}$ </img> o Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mo stretchy="false"> <math>(\mu_0 H)^2 } </mo><msub><mi> $(\mu _{0}H)^{2}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $(\mu _{0}H)^{2}$ </mn></mrow></msub><mi> $(\mu _{0}H)^{2}$ </mi><msup><mo stretchy="false"> $(\mu _{0}H)^{2}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $(\mu _{0}H)^{2}$ </mn></mrow></msup></mstyle></mrow> </math>$(\mu _{0}H)^{2}$ $(\mu _{0}H)^{2}$ </img> En el caso de un material paramagnético.

El cálculo detallado y una ilustración se dan en las secciones a continuación.

Teoría

Marco y sistema de coordenadas para la derivación del efecto Voigt. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}_i} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{i}$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E}}_{i}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}_{i}$ ${\vec {E}}_{i}$ </img> , Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}_r} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{r}$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E}}_{r}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}_{r}$ ${\vec {E}}_{r}$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}_t} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{t}$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E}}_{t}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}_{t}$ ${\vec {E}}_{t}$ </img> Se refiere al incidente, el campo electromagnético reflejado y transmitido.

Al igual que con los otros efectos magneto-ópticos, la teoría se desarrolla de manera estándar con el uso de un tensor dieléctrico efectivo a partir del cual se calculan los valores propios y los vectores propios de los sistemas. Como es habitual, a partir de este tensor, los fenómenos magneto-ópticos se describen principalmente por los elementos fuera de la diagonal.

Aquí, se considera una polarización incidente que se propaga en la dirección z: Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><msub><mi> <math>\vec{E_i} = \begin{pmatrix} \cos \beta \\ \sin \beta \\ 0 \end{pmatrix} e^{-i \omega (t-n_1 z /c)}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mtable rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mn></mtd></mtr></mtable><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo></mrow></mrow><msup><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo><msub><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mn></mrow></msub><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo></mrow><mi> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </mo></mrow></msup></mstyle></mrow> </math>${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ </img> el campo eléctrico y una muestra magnetizada homogéneamente en el plano. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{m} = \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \\ 0 \end{pmatrix}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo><mtable rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mi><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo><mi> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mi><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo><mi> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mn></mtd></mtr></mtable><mo> ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </mo></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ </img> dónde Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\phi} </mi></mstyle></mrow> </math>$\phi$ $\phi$ </img> se cuenta desde la dirección cristalográfica [100]. El objetivo es calcular. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><msub><mi> <math>\vec{E_r} = \begin{pmatrix} \cos \beta+\delta \beta \\ \sin \beta+\delta \beta \\ 0 \end{pmatrix} e^{-i \omega (t+n_1 z /c)}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><mtable rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mn></mtd></mtr></mtable><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo></mrow></mrow><msup><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo><msub><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mn></mrow></msub><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo></mrow><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </mo></mrow></msup></mstyle></mrow> </math>${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ </img> dónde Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\delta \beta} </mi><mi> $\delta \beta$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\delta \beta$ $\delta \beta$ </img> es la rotación de polarización debida al acoplamiento de la luz con la magnetización. Notemos que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\delta \beta} </mi><mi> $\delta \beta$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\delta \beta$ $\delta \beta$ </img> es experimentalmente una pequeña cantidad del orden de mrad. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{m}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {m}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {m}}$ ${\vec {m}}$ </img> es el vector de magnetización reducida definido por Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{m} = \vec{M}/M_s} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ </mo></mrow><msub><mi> ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ </img> , Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>M_s} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $M_{s}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$M_{s}$ $M_{s}$ </img> la magnetización a la saturación. Destacamos que, como el vector de propagación de la luz es perpendicular al plano de magnetización, es posible ver el efecto Voigt.

Tensor dieléctrico

Siguiendo la notación de Hubert, ​ el tensor cúbico dieléctrico generalizado Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>\epsilon_r} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $\epsilon _{r}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$\epsilon _{r}$ $\epsilon _{r}$ </img> tomar la siguiente forma  :

$$(1)\qquad \epsilon _{r}=\epsilon {\begin{bmatrix}1&0&iQm_{y}\\0&1&-iQm_{x}\\-iQm_{y}&iQm_{x}&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}m_{x}^{2}&B_{2}m_{x}m_{y}&0\\B_{2}m_{x}m_{y}&B_{1}m_{y}^{2}&0\\0&0&B_{1}m_{z}^{2}\end{bmatrix}}$$

donde Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\epsilon} </mi></mstyle></mrow> </math>$\epsilon$ $\epsilon$ </img> es la constante dieléctrica del material, Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>Q} </mi></mstyle></mrow> </math>$Q$ $Q$ </img> el parámetro Voigt, Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_1} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$B_{1}$ $B_{1}$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_2} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{2}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$B_{2}$ $B_{2}$ </img> Dos constantes cúbicas que describen el efecto magneto-óptico dependiendo de Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msubsup><mi> <math>m_i^2} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $m_{i}^{2}$ </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $m_{i}^{2}$ </mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow> </math>$m_{i}^{2}$ $m_{i}^{2}$ </img> . Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>m_i} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $m_{i}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$m_{i}$ $m_{i}$ </img> es la reducción Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>m_i = M_i/M_s} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ </mi></mrow></msub><mo> $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ </mo><msub><mi> $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ </mi></mrow></msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ </mo></mrow><msub><mi> $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$m_{i}=M_{i}/M_{s}$ $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ </img> . El cálculo se realiza en la aproximación esférica con Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_1 = B_2} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}=B_{2}$ </mn></mrow></msub><mo> $B_{1}=B_{2}$ </mo><msub><mi> $B_{1}=B_{2}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}=B_{2}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$B_{1}=B_{2}$ $B_{1}=B_{2}$ </img> . En este momento,   no hay evidencia de que esta aproximación no sea válida, ya que la observación del efecto Voigt es rara porque es extremadamente pequeña con respecto al efecto Kerr.

Valores propios y vectores propios

Para calcular los valores propios y los vectores propios, consideramos la ecuación de propagación derivada de las ecuaciones de Maxwell, con la convención Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{n} = \vec{k} c / \omega} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ </mo></mover></mrow></mrow><mi> ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ </mo></mrow><mi> ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ </mi></mstyle></mrow> </math>${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ </img> .  :

$$(2)\qquad n^{2}{\vec {E}}-{\vec {n}}({\vec {n}}\cdot {\vec {E}})=\epsilon {\vec {E}}$$

Cuando la magnetización es perpendicular al vector de onda de propagación, al contrario del efecto Kerr, Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}$ ${\vec {E}}$ </img> puede tener sus tres componentes iguales a cero, lo que hace que los cálculos sean más complicados y que las ecuaciones de Fresnel ya no sean válidas. Una forma de simplificar el problema consiste en utilizar el vector de desplazamiento de campo eléctrico. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{D} = \epsilon \vec{E}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ </mo><mi> ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ </img> . Ya que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi mathvariant="normal"> <math>\vec{\nabla}\cdot \vec{D} = 0} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ </mo><mn> ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ </mn></mstyle></mrow> </math>${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{k}\parallel \vec{z}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ </img> tenemos Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{D} = \begin{pmatrix} D_x \\ D_y \\ 0 \end{pmatrix}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mo><mtable rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mn></mtd></mtr></mtable><mo> ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </mo></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ </img> . El inconveniente es tratar con el tensor dieléctrico inverso que puede ser complicado de manejar. Aquí el cálculo se realiza en el caso general que es complicado de manejar matemáticamente, sin embargo, se puede seguir fácilmente la demostración considerando Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\phi=0} </mi><mo> $\phi =0$ </mo><mn> $\phi =0$ </mn></mstyle></mrow> </math>$\phi =0$ $\phi =0$ </img> .

Los valores propios y los vectores propios se encuentran resolviendo la ecuación de propagación en Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{D}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {D}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {D}}$ ${\vec {D}}$ </img> Lo que da el siguiente sistema de ecuación.  :

$$(3)\quad \left\{{\begin{matrix}(\epsilon _{xx}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{x}+\epsilon _{xy}^{-1}D_{y}=0\\\\\epsilon _{yx}^{-1}D_{x}+(\epsilon _{yy}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{y}=0\end{matrix}}\right.$$

dónde Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msubsup><mi> <math>\epsilon_{ij}^{-1}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $\epsilon _{ij}^{-1}$ </mi><mi> $\epsilon _{ij}^{-1}$ </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $\epsilon _{ij}^{-1}$ </mo><mn> $\epsilon _{ij}^{-1}$ </mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow> </math>$\epsilon _{ij}^{-1}$ $\epsilon _{ij}^{-1}$ </img> representa el elemento inverso Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>ij} </mi><mi> $ij$ </mi></mstyle></mrow> </math>$ij$ $ij$ </img> del tensor dieléctrico. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>\epsilon_r} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $\epsilon _{r}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$\epsilon _{r}$ $\epsilon _{r}$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msup><mi> <math>n^2 = \epsilon} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $n^{2}=\epsilon$ </mn></mrow></msup><mo> $n^{2}=\epsilon$ </mo><mi> $n^{2}=\epsilon$ </mi></mstyle></mrow> </math>$n^{2}=\epsilon$ $n^{2}=\epsilon$ </img> . Después de un cálculo directo del determinante del sistema, uno tiene que hacer un desarrollo en el segundo orden en Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>Q} </mi></mstyle></mrow> </math>$Q$ $Q$ </img> y primer orden de Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_1} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$B_{1}$ $B_{1}$ </img> . Esto llevó a los dos valores propios correspondientes a los dos índices de refracción  :

$$n_{\parallel }^{2}=\epsilon +B_{1}$$

$$n_{\perp }^{2}=\epsilon (1-Q^{2})$$

Los vectores propios correspondientes para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{D}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {D}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {D}}$ ${\vec {D}}$ </img> y para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}$ ${\vec {E}}$ </img> son  :

$$(4)\qquad {\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}\cos(\phi )\\\sin(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\parallel }=\epsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\{\frac {\sin(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\perp }=\epsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}{\frac {\sin(\phi )}{(Q^{2}-1)\epsilon }}\\{\frac {\cos(\phi )}{(1-Q^{2})\epsilon }}\\{\frac {-iQ}{(1-Q^{2})\epsilon }}\end{pmatrix}}$$

Geometría de reflexión

Relación de continuidad

Al conocer los vectores propios y los valores propios dentro del material, uno tiene que calcular Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><msub><mi> <math>\vec{E_r} = \begin{pmatrix} E_{rx} \\ E_{ry} \\ 0 \end{pmatrix}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mo><mtable rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mi><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mi><mi> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mn></mtd></mtr></mtable><mo> ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </mo></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ </img> el vector electromagnético reflejado suele detectarse en experimentos. Utilizamos las ecuaciones de continuidad para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}$ ${\vec {E}}$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{H}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {H}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {H}}$ ${\vec {H}}$ </img> dónde Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{H}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {H}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {H}}$ ${\vec {H}}$ </img> es la inducción definida a partir de las ecuaciones de Maxwell por Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi mathvariant="normal"> <math>\vec{\nabla}\times \vec{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mn><mi> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mi></mfrac></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mo></mover></mrow></mrow></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mi><mi> ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow> </math>${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ </img> . Dentro del medio, el campo electromagnético se descompone en los vectores propios derivados Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}_t = \alpha \vec{E}_{\parallel} + \beta \vec{E}_{\perp}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mi></mrow></msub><mo> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mo><mi> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mi><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mo></mrow></msub><mo> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mo><mi> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mi><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </mo></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ </img> . El sistema de ecuación a resolver es.  :

$$(5)\quad \left\{{\begin{matrix}\alpha {\Big (}{\frac {D_{y\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{y\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{ry}=E_{0y}\\\\\alpha {\Big (}{\frac {D_{x\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{x\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{x\parallel }+\beta E_{x\perp }-E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{y\parallel }+\beta E_{y\perp }-E_{ry}=E_{0y}\end{matrix}}\right.$$

La solución de este sistema de ecuación son:  :

$$(6)\quad E_{rx}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\cos(\beta )+(n_{\perp }-n_{\parallel })\cos(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}$$

$$(7)\quad E_{ry}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\sin(\beta )-(n_{\perp }-n_{\parallel })\sin(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}$$

Cálculo del ángulo de rotación

El ángulo de rotación Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\delta \beta} </mi><mi> $\delta \beta$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\delta \beta$ $\delta \beta$ </img> y el ángulo de elipticidad Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\psi} </mi></mstyle></mrow> </math>$\psi$ $\psi$ </img> se definen a partir de la relación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\chi = E_{ry}/E_{rx}} </mi><mo> $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </mo><msub><mi> $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </mi><mi> $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </mi></mrow></msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </mo></mrow><msub><mi> $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </mi><mi> $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$\chi =E_{ry}/E_{rx}$ $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ </img> con las dos fórmulas siguientes:

$$(8)\quad \tan 2\delta \beta ={\frac {2\operatorname {Re} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}}\qquad (9)\quad \sin(2\psi _{K})={\frac {2\operatorname {Im} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}},$$

dónde Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\operatorname{Re}(\chi)} </mi><mo> $\operatorname {Re} (\chi )$ </mo><mo stretchy="false"> $\operatorname {Re} (\chi )$ </mo><mi> $\operatorname {Re} (\chi )$ </mi><mo stretchy="false"> $\operatorname {Re} (\chi )$ </mo></mstyle></mrow> </math>$\operatorname {Re} (\chi )$ $\operatorname {Re} (\chi )$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\operatorname{Im}(\chi)} </mi><mo> $\operatorname {Im} (\chi )$ </mo><mo stretchy="false"> $\operatorname {Im} (\chi )$ </mo><mi> $\operatorname {Im} (\chi )$ </mi><mo stretchy="false"> $\operatorname {Im} (\chi )$ </mo></mstyle></mrow> </math>$\operatorname {Im} (\chi )$ $\operatorname {Im} (\chi )$ </img> representar la parte real e imaginaria de Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\chi} </mi></mstyle></mrow> </math>$\chi$ $\chi$ </img> . Usando los dos componentes previamente calculados, uno obtiene:

$$(10)\qquad \chi ={\frac {(B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2})}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}{\frac {\sin[2(\phi -\beta )]}{\cos(\beta )^{2}}}+\tan(\beta ).$$

Esto da para la rotación de Voigt:

$$(11)\qquad \delta \beta =\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]\sin[2(\phi -\beta )],$$

que también puede ser reescrito en el caso de Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_1} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$B_{1}$ $B_{1}$ </img> , Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>n_0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $n_{0}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$n_{0}$ $n_{0}$ </img> y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>Q} </mi></mstyle></mrow> </math>$Q$ $Q$ </img> real:

$$(12)\quad \delta \beta ={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )],$$

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi mathvariant="normal"> <math>\Delta n = \frac{{n_{\parallel}-n_{\perp}}}{2}} </mi><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msub><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo></mrow></msub><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo><msub><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo></mrow></msub></mrow><mn> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow> </math>$\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </img> Es la diferencia de los índices de refracción. En consecuencia, se obtiene algo proporcional a Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi mathvariant="normal"> <math>\Delta n} </mi><mi> $\Delta n$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\Delta n$ $\Delta n$ </img> y que depende de la polarización lineal incidente. Para el correcto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\phi-\beta} </mi><mo> $\phi -\beta$ </mo><mi> $\phi -\beta$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\phi -\beta$ $\phi -\beta$ </img> No se puede observar rotación de Voigt. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi mathvariant="normal"> <math>\Delta n} </mi><mi> $\Delta n$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\Delta n$ $\Delta n$ </img> es proporcional al cuadrado de la magnetización ya que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_1 \propto M_s^2} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}\propto M_{s}^{2}$ </mn></mrow></msub><mo> $B_{1}\propto M_{s}^{2}$ </mo><msubsup><mi> $B_{1}\propto M_{s}^{2}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $B_{1}\propto M_{s}^{2}$ </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}\propto M_{s}^{2}$ </mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow> </math>$B_{1}\propto M_{s}^{2}$ $B_{1}\propto M_{s}^{2}$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>Q \propto M_s} </mi><mo> $Q\propto M_{s}$ </mo><msub><mi> $Q\propto M_{s}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $Q\propto M_{s}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$Q\propto M_{s}$ $Q\propto M_{s}$ </img> .

Geometría de transmisión

El cálculo de la rotación del efecto Voigt en transmisión es en principio equivalente al del efecto Faraday. En la práctica, esta configuración no se usa en general para muestras ferromagnéticas, ya que la longitud de absorción es débil en este tipo de material. Sin embargo, el uso de la geometría de transmisión es más común en el líquido paramagnético o cristal donde la luz puede viajar fácilmente dentro del material.

El cálculo para un material paramagnético es exactamente el mismo que para un material ferromagnético, excepto que la magnetización se reemplaza por un campo Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>\mu_0 \vec{H}= \mu_0 H_0 \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mn></mrow></msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mi><mo stretchy="false"> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mo></mover></mrow></mrow><mo> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mo><msub><mi> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mn></mrow></msub><msub><mi> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mn></mrow></msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow><mo> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mo><mtable rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mi><mo> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mo><mi> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mi><mo> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mo><mi> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mi></mtd></mtr></mtable><mo> $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </mo></mrow></mrow></mstyle></mrow> </math>$\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ </img> ( Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>H_0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $H_{0}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$H_{0}$ $H_{0}$ </img> en Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>A/m} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $A/m$ </mo></mrow><mi> $A/m$ </mi></mstyle></mrow> </math>$A/m$ $A/m$ </img> o Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>G} </mi></mstyle></mrow> </math>$G$ $G$ </img> ). Por conveniencia, el campo se agregará al final del cálculo en los parámetros magneto-ópticos.

Considerar las ondas electromagnéticas transmitidas. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}_t } </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{t}$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E}}_{t}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}_{t}$ ${\vec {E}}_{t}$ </img> propagándose en un medio de longitud L. De la ecuación (5), se obtiene para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\alpha} </mi></mstyle></mrow> </math>$\alpha$ $\alpha$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\beta} </mi></mstyle></mrow> </math>$\beta$ $\beta$ </img>  :

$$\alpha ={\frac {2E_{0}n_{\parallel }\cos(\theta -\phi )}{1+n_{\parallel }}}$$

$$\beta ={\frac {2E_{0}n_{\perp }^{2}\sin(\theta -\phi )}{n_{\perp }+1}}$$

En la posición z = L, la expresión de Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}_t} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{t}$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> ${\vec {E}}_{t}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}_{t}$ ${\vec {E}}_{t}$ </img> es  :

$$(13)\quad {\vec {E}}_{t}=e^{-i\omega [t+{\frac {(n_{\parallel }+n_{\perp })L}{2c}}]}{\Big [}\alpha {\vec {E}}_{\parallel }e^{i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}+\beta {\vec {E}}_{\perp }e^{-i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}{\Big ]}$$

donde Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}_{\parallel}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{\parallel }$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E}}_{\parallel }$ </mo></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}_{\parallel }$ ${\vec {E}}_{\parallel }$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><mi> <math>\vec{E}_{\perp}} </mi><mo stretchy="false"> ${\vec {E}}_{\perp }$ </mo></mover></mrow></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> ${\vec {E}}_{\perp }$ </mo></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>${\vec {E}}_{\perp }$ ${\vec {E}}_{\perp }$ </img> son los vectores propios calculados previamente, y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi mathvariant="normal"> <math>\Delta n = \frac{n_{\parallel}-n_{\perp}}{2}} </mi><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msub><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo></mrow></msub><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo><msub><mi> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mo></mrow></msub></mrow><mn> $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow> </math>$\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ </img> es la diferencia para los dos índices de refracción. La rotación se calcula a partir de la relación Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\chi = \frac{E_{t_y}}{E_{t_{x}}}} </mi><mo> $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><msub><mi> $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msub><mi> $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ </mi></mrow></msub></mrow></msub><msub><mi> $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msub><mi> $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ </mi></mrow></msub></mrow></msub></mfrac></mrow></mstyle></mrow> </math>$\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ </img> , con desarrollo en primer orden en Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_1} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$B_{1}$ $B_{1}$ </img> y segundo orden en Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>Q} </mi></mstyle></mrow> </math>$Q$ $Q$ </img> . Esto da  :

$$(14)\quad \chi ={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})(B_{1}+n_{0}Q^{2})\sin[2(\beta -\phi )]}{4cn_{0}(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})\Delta n\sin[2(\beta -\phi )]}{c~(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}$$

Nuevamente obtenemos algo proporcional a Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi mathvariant="normal"> <math>\Delta n} </mi><mi> $\Delta n$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\Delta n$ $\Delta n$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>L} </mi></mstyle></mrow> </math>$L$ $L$ </img> , la longitud de propagación de la luz. Notemos que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi mathvariant="normal"> <math>\Delta n} </mi><mi> $\Delta n$ </mi></mstyle></mrow> </math>$\Delta n$ $\Delta n$ </img> es proporcional a Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mo stretchy="false"> <math>(\mu_0 H_0)^2} </mo><msub><mi> $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ </mn></mrow></msub><msub><mi> $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ </mn></mrow></msub><msup><mo stretchy="false"> $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ </mn></mrow></msup></mstyle></mrow> </math>$(\mu _{0}H_{0})^{2}$ $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ </img> de igual forma con respecto a la geometría en reflexión para la magnetización. Para extraer la rotación de Voigt, consideramos Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>n_0= \eta + i~\kappa} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $n_{0}=\eta +i~\kappa$ </mn></mrow></msub><mo> $n_{0}=\eta +i~\kappa$ </mo><mi> $n_{0}=\eta +i~\kappa$ </mi><mo> $n_{0}=\eta +i~\kappa$ </mo><mi> $n_{0}=\eta +i~\kappa$ </mi><mi> $n_{0}=\eta +i~\kappa$ </mi></mstyle></mrow> </math>$n_{0}=\eta +i~\kappa$ $n_{0}=\eta +i~\kappa$ </img> , Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>Q = Q_r + i~Q_i} </mi><mo> $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ </mo><msub><mi> $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ </mi></mrow></msub><mo> $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ </mo><mi> $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ </mi><msub><mi> $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ </mi></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ </img> y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math>B_1} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $B_{1}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$B_{1}$ $B_{1}$ </img> real. Entonces tenemos que calcular la parte real de (14). La expresión resultante se inserta en (8). En la aproximación de no absorción, se obtiene para la rotación de Voigt en la geometría de transmisión:

$$(15)\quad \delta \beta =(\mu _{0}H)^{2}{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}$$

Ilustración del efecto Voigt en GaMnAs

Figura 1  : a) Ciclo de histéresis experimental en un plano (Ga, Mn) Como muestra b) Ciclo de histéresis de Voigt obtenido al extraer la parte simétrica de (a). c) Kerr longitudinal obtenido al extraer la parte asimétrica de (a)

Figura 2  : a) Mecanismo de conmutación de un plano (Ga, Mn) Como muestra para un campo magnético aplicado a lo largo del eje [1-10] a 12 K. b) Señal de Voigt simulada desde el mecanismo mostrado en a)

Como una ilustración de la aplicación del efecto Voigt, damos un ejemplo en el semiconductor magnético (Ga, Mn) donde se observó un gran efecto Voigt. ​ A bajas temperaturas (en general para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>T<\frac{T_c}{2}} </mi><mo> $T<{\frac {T_{c}}{2}}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><msub><mi> $T<{\frac {T_{c}}{2}}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> $T<{\frac {T_{c}}{2}}$ </mi></mrow></msub><mn> $T<{\frac {T_{c}}{2}}$ </mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow> </math>$T<{\frac {T_{c}}{2}}$ $T<{\frac {T_{c}}{2}}$ </img> ) para un material con una magnetización en el plano, (Ga, Mn), como muestra una anisotropía biaxial con la magnetización alineada a lo largo (o cerca de) las direcciones <100>.

En la figura 1 se muestra un ciclo de histéresis típico que contiene el efecto Voigt. Este ciclo se obtuvo enviando una luz polarizada linealmente a lo largo de la dirección [110] con un ángulo incidente de aproximadamente 3 ° (se pueden encontrar más detalles en ​ ), y se mide la rotación debido a los efectos magneto-ópticos de la luz reflejada haz. En contraste con el efecto Kerr longitudinal / polar común, el ciclo de histéresis es uniforme con respecto a la magnetización, que es una firma del efecto Voigt. Este ciclo se obtuvo con una incidencia de luz muy cercana a la normal, y también presenta una pequeña parte impar; se debe realizar un tratamiento correcto para extraer la parte simétrica de la histéresis correspondiente al efecto Voigt y la parte asimétrica correspondiente al efecto Kerr longitudinal.

En el caso de la histéresis presentada aquí, el campo se aplicó en la dirección [1-10]. El mecanismo de conmutación es el siguiente  :

1. Comenzamos con un campo negativo alto y la magnetización está cerca de la dirección [-1-10] en la posición 1.
2. El campo magnético está disminuyendo, lo que lleva a una rotación de magnetización coherente de 1 a 2.
3. En el campo positivo, el interruptor de magnetización brutalmente de 2 a 3 por nucleación y propagación de dominios magnéticos da un primer campo coercitivo nombrado aquí Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math> H_1 } </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $H_{1}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$H_{1}$ $H_{1}$ </img>
4. La magnetización permanece cerca del estado 3 mientras gira de manera coherente al estado 4, más cerca de la dirección del campo aplicado.
5. De nuevo, la magnetización cambia bruscamente de 4 a 5 por nucleación y propagación de dominios magnéticos. Este cambio se debe al hecho de que la posición de equilibrio final está más cerca del estado 5 con respecto al estado 4 (y, por lo tanto, su energía magnética es menor). Esto le da a otro campo coercitivo llamado Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math> H_2 } </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $H_{2}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$H_{2}$ $H_{2}$ </img>
6. Finalmente, la magnetización gira coherentemente desde el estado 5 al estado 6.

La simulación de este escenario se muestra en la figura 2, con

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math> \operatorname{Re}\left[\frac{B_1+n_0^2 Q^{2}}{2 n_0 (n_0^2-1)}\right] P_\text{Voigt} = 0.5\,\mathrm{mrad} } </mi><mo> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mo><mrow><mo> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msub><mi> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn></mrow></msub><mo> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mo><msubsup><mi> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn></mrow></msubsup><msup><mi> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn><msub><mi> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mo><msubsup><mi> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn></mrow></msubsup><mo> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mo><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn><mo stretchy="false"> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mo></mrow></mfrac></mrow><mo> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mo></mrow><msub><mi> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtext> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mtext></mrow></msub><mo> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mo><mn> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mn><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mi mathvariant="normal"> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mi mathvariant="normal"> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi><mi mathvariant="normal"> $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </mi></mrow></mstyle></mrow> </math>$\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}$ </img> .

Como se puede ver, la histéresis simulada es cualitativamente la misma con respecto a la experimental. Notar que la amplitud en Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math> H_1 } </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $H_{1}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$H_{1}$ $H_{1}$ </img> o Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math> H_2 } </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> $H_{2}$ </mn></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$H_{2}$ $H_{2}$ </img> son aproximadamente el doble de Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi> <math> P_\text{Voigt} } </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtext> $P_{\text{Voigt}}$ </mtext></mrow></msub></mstyle></mrow> </math>$P_{\text{Voigt}}$ $P_{\text{Voigt}}$ </img>

Véase también

• Filtro de línea atómica
• Efecto Cotton-Mouton
• Efecto Faraday

Otras lecturas

• Zhao, Zhong-Quan. Emocionado estado de los filtros de línea atómica . Consultado el 26 de marzo de 2006.