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En matemáticas, las ecuaciones diferenciales de retardo (EDR) son un tipo de ecuación diferencial funcional en la cual la derivada de la función desconocida en un momento determinado se da en términos de los valores de la función en momentos anteriores. Los EDR también se denominan sistemas de retardo de tiempo, ecuación diferencial retardada en el tiempo o ecuaciones de diferencia diferencial^[1]. Pertenecen a la clase de sistemas con el estado funcional, es decir, ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que son de dimensión infinita, en oposición a las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que tienen un vector de estado de dimensión finita.

Cuatro puntos pueden dar una posible explicación de la popularidad de los EDR. Es bien sabido que, junto con las crecientes expectativas de los rendimientos dinámicos, los ingenieros necesitan que sus modelos se comporten más como el proceso real. Muchos procesos incluyen fenómenos de efectos secundarios en su dinámica interna. Además, los sensores, redes de comunicación que ahora están involucrados en los bucles de control de retroalimentación introducen tales retrasos. Finalmente, además de los retrasos reales, los intervalos de tiempo se utilizan con frecuencia para simplificar modelos de muy alto orden. Luego, el interés por los DDE continúa creciendo en todas las áreas científicas y, especialmente, en la ingeniería de control. (2) Los sistemas de retardo siguen siendo resistentes a muchos controladores clásicos: uno podría pensar que el enfoque más simple consistiría en reemplazarlos por algunas aproximaciones de dimensión finita. Desafortunadamente, ignorar los efectos que están adecuadamente representados por los EDR no es una alternativa general: en la mejor situación (demoras constantes y conocidas), conduce al mismo grado de complejidad en el diseño de control. En el peor de los casos (retrasos que varían con el tiempo, por ejemplo), es potencialmente desastroso en términos de estabilidad y oscilaciones. (3) Las propiedades de retraso también son sorprendentes, ya que varios estudios han demostrado que la introducción voluntaria de retrasos también puede beneficiar al control. (4) A pesar de su complejidad, los EDR a menudo aparecen como simples modelos de dimensión infinita en el área muy compleja de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

Tipos de EDR

La variedad de EDR que existen es amplia, en esta líneas enunciaremos las más simples. Para generalizar la notación, al término retardado lo representaremos por $x_{t}$ y nos referiremos a las EDR de primer orden, aunque los conceptos que siguen se pueden extender al caso de orden $n,\quad n\in \mathbb {N}$ :

$x^{(n)}=f(t,x,x_{t},x',x'_{t},...,x^{(n-1)},x_{t}^{(n-1)})$ , donde $x^{(k)}:={d^{n}x \over dt^{n}}$ .

Se define una Ecuación Diferencial con Retardo fijo de primer orden para $x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ a aquellas de la forma: $x'(t)=f(t,x(t),x_{t})=f(t,x(t),x(t-\tau )),$ donde $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R}$ y $\tau \geq 0$ es un retardo. Obsérvese que cuando $\tau =0$ se tiene una Ecuación Diferencial Ordinaria.

También se pueden definir ecuaciones diferenciales con retardo variables, por ejemplo en el caso de una EDR de primer orden de este tipo verifica:

$x'(t)=f(t,x(t),x(t-\tau (t)))$ , en este caso el retardo es una función del tiempo $\tau :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ .

Existen ecuaciones diferenciales con múltiples retardo discretos:

x'(t)=f(t,x(t),x_{t})=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),x(t-\tau _{2}),...,x(t-\tau _{n}))

donde

f:\mathbb {R} ^{n+2}\to \mathbb {R}

y los retardos

\tau _{j}

son constantes no negativas para todo

1\leq j\leq n

.

Las ecuaciones diferenciales con retardo distribuido es definen como:

x'(t)=f(t,x(t),x_{t})=f\left(t,x(t),\int _{0}^{\tau }w(s)x(t-s)ds\right)

En este último caso la función integrable $w:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ es un peso, o función de densidad.

Pueden plantearse combinaciones más complejas de los casos anteriores. Todas las definiciones para ecuaciones diferenciales mencionadas se pueden extender al caso vectorial, sistemas de la forma $X'(t)=F(t,X(t),X_{t})$ donde $X:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ es una función a valores vectoriales derivable desconocida y $F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{n}$ es un campo escalar.

Como ocurre con las EDO, las EDR también se clasifican en autónomas (cuando no depende de $t$ ), es decir $f(t,x(t),x_{t})=f(x(t),x_{t})$ en el caso escalar o $F(t,X(t),X_{t})=F(X(t),X_{t})$ en el caso vectorial.

Referencias

Amster, Pablo. Ecuaciones diferenciales con retardo. Cursos y seminarios de matemática Serie B. 2017. Disponible en http://cms.dm.uba.ar/depto/public/serie%20B/serieB11.pdf
Erneux, Thomas. Applied delay differential equations. Vol 3. Springer, 2009.
Gopalsamy, K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Mathematics and its applications. Kluwer Academic Publishers 1992.
Murray J. D. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition. Springer. (2001).

↑ Smith, Hal (15 de septiembre de 2010). An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences. Springer New York. pp. 1-11. ISBN 9781441976451. Consultado el 20 de octubre de 2018.

[1] Smith, Hal (15 de septiembre de 2010). An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences. Springer New York. pp. 1-11. ISBN 9781441976451. Consultado el 20 de octubre de 2018.

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-En [[matemáticas]], las ecuaciones diferenciales de retardo (EDR) son un tipo de [[ecuación diferencial]] en la cual la [[derivada]] de la función desconocida en un momento determinado se da en términos de los valores de la función en momentos anteriores. Los EDR también se denominan sistemas de retardo de tiempo, sistemas con efecto secundario o tiempo muerto, sistemas hereditarios, ecuaciones con argumento de desviación o ecuaciones de diferencia [[diferencial]]. Pertenecen a la clase de sistemas con el estado funcional, es decir, ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que son de [[dimensión]] infinita, en oposición a las [[ecuaciones diferenciales ordinarias]] (EDO) que tienen un vector de estado de dimensión finita. Cuatro puntos pueden dar una posible explicación de la popularidad de los EDR.
+En [[matemáticas]], las ecuaciones diferenciales de retardo (EDR) son un tipo de [[ecuación diferencial]] funcional en la cual la [[derivada]] de la función desconocida en un momento determinado se da en términos de los valores de la función en momentos anteriores. Los EDR también se denominan sistemas de retardo de tiempo, ecuación diferencial retardada en el tiempo o ecuaciones de diferencia [[diferencial]]<ref>{{Cita libro|apellidos=Smith|nombre=Hal|título=An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences|url=http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4419-7646-8_1|fechaacceso=2018-10-20|fecha=2010-09-15|editorial=Springer New York|isbn=9781441976451|páginas=1–11}}</ref>. Pertenecen a la clase de sistemas con el estado funcional, es decir, ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que son de [[dimensión]] infinita, en oposición a las [[ecuaciones diferenciales ordinarias]] (EDO) que tienen un vector de estado de dimensión finita.
+Cuatro puntos pueden dar una posible explicación de la popularidad de los EDR.
 Es bien sabido que, junto con las crecientes expectativas de los rendimientos dinámicos, los ingenieros necesitan que sus modelos se comporten más como el proceso real. Muchos procesos incluyen fenómenos de efectos secundarios en su dinámica interna. Además, los sensores, redes de comunicación que ahora están involucrados en los bucles de control de retroalimentación introducen tales retrasos. Finalmente, además de los retrasos reales, los intervalos de tiempo se utilizan con frecuencia para simplificar modelos de muy alto orden. Luego, el interés por los DDE continúa creciendo en todas las áreas científicas y, especialmente, en la ingeniería de control. (2) Los sistemas de retardo siguen siendo resistentes a muchos controladores clásicos: uno podría pensar que el enfoque más simple consistiría en reemplazarlos por algunas aproximaciones de dimensión finita. Desafortunadamente, ignorar los efectos que están adecuadamente representados por los EDR no es una alternativa general: en la mejor situación (demoras constantes y conocidas), conduce al mismo grado de complejidad en el diseño de control. En el peor de los casos (retrasos que varían con el tiempo, por ejemplo), es potencialmente desastroso en términos de estabilidad y oscilaciones. (3) Las propiedades de retraso también son sorprendentes, ya que varios estudios han demostrado que la introducción voluntaria de retrasos también puede beneficiar al control. (4) A pesar de su complejidad, los EDR a menudo aparecen como simples modelos de dimensión infinita en el área muy compleja de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP).
+== Tipos de EDR ==
-Se define una Ecuación Diferencial con Retardo (o ecuación diferencial retardada en el tiempo) de primer orden para <math>x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>a aquellas de la forma:<math>x'(t)=f(t,x(t),x(t-\tau)),</math>
+La variedad de EDR que existen es amplia, en esta líneas enunciaremos las más simples. Para generalizar la notación, al término retardado lo representaremos por <math>x_t</math>y nos referiremos a las EDR de primer orden, aunque los conceptos que siguen se pueden extender al caso de orden <math>n,\quad n\in\mathbb N</math>:
-donde <math>f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}</math> y <math>\tau\ge 0</math> es un retardo. Obsérvese que cuando  <math>\tau=0</math> se tiene una Ecuación Diferencial Ordinaria.
+<math>x^{(n)}=f(t,x,x_t,x',x'_t,...,x^{(n-1)},x_t^{(n-1)})</math>, donde <math>x^{(k)}:={d^nx \over dt^n}</math>.
+Se define una Ecuación Diferencial con Retardo fijo de primer orden para <math>x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>a aquellas de la forma:<math>x'(t)=f(t,x(t),x_t)=f(t,x(t),x(t-\tau)),</math> donde <math>f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}</math> y <math>\tau\ge 0</math> es un retardo. Obsérvese que cuando  <math>\tau=0</math> se tiene una Ecuación Diferencial Ordinaria.
+También se pueden definir ecuaciones diferenciales con retardo variables, por ejemplo en el caso de una EDR de primer orden de este tipo verifica:
+<math>x'(t)=f(t,x(t),x(t-\tau(t)))</math>, en este caso el retardo es una función del tiempo <math>\tau: \mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\ge 0}</math>.
+Existen ecuaciones diferenciales con múltiples retardo discretos:
+<math display="block">x'(t)=f(t,x(t),x_t)=f(t,x(t),x(t-\tau_1),x(t-\tau_2),...,x(t-\tau_n))</math>donde <math>f:\mathbb{R}^{n+2}\to\mathbb{R}</math>y los retardos <math>\tau_j</math>son constantes no negativas para todo <math>1\le j\le n</math>.
+Las ecuaciones diferenciales con retardo distribuido es definen como:
+<math display="block">x'(t)=f(t,x(t),x_t)=f\left(t,x(t),\int_0^\tau w(s)x(t-s)ds\right)</math>
+En este último caso la función integrable <math>w:\mathbb{R}\to\mathbb R</math>es un peso, o función de densidad.
+Pueden plantearse combinaciones más complejas de los casos anteriores. Todas las definiciones para ecuaciones diferenciales mencionadas se pueden extender al caso vectorial,  sistemas de la forma <math>X'(t)=F(t,X(t),X_t)</math> donde <math>X:\mathbb R\to\mathbb R^n</math>es una función a valores vectoriales derivable desconocida y <math>F:\mathbb R\times\mathbb R^{2n}\to\mathbb R^n</math>es un campo escalar.
+Como ocurre con las EDO, las EDR también se clasifican en autónomas (cuando no depende de <math>t</math>), es decir <math>f(t,x(t),x_t)=f(x(t),x_t)</math> en el caso escalar o <math>F(t,X(t),X_t)=F(X(t),X_t)</math>en el caso vectorial.
 ===== Referencias =====
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 # Erneux, Thomas. ''Applied delay differential equations''. Vol 3. Springer, 2009.
 # Gopalsamy, K. ''Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Mathematics and its applications''. Kluwer Academic Publishers 1992.
-# Smith Hal, ''An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences''. Text in Applied Mathematics 57. Springer. 2011.
 # Murray J. D. ''Mathematical Biology: I. An Introduction'', Third Edition. Springer. (2001).