Torsión (álgebra)

En álgebra abstracta el término torsión se refiere a los elementos de orden finito de un grupo y a los elementos de módulos anulados por elementos regulares de un anillo.

Definición

Un elemento m de un módulo M sobre un anillo R es llamado un elemento de torsión del módulo si existe un elemento regular r del anillo que anula m, es decir r m = 0. En el caso especial en que R es un domino entero (es decir un anillo conmutativo sin divisores de cero), todo elemento distinto de cero es regular, entonces un elemento de torsión de un módulo M sobre un dominio entero R es aquel que es eliminado por un elemento distinto de cero en el anillo.

Un R-módulo M es llamado módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión. Por otro lado, M es llamado módulo libre de torsión si cero es el único elemento de torsión. Si el anillo R es un dominio entero entonces el conjunto de todos los elementos de torsión forma un submódulo de M llamado el submódulo de torsión de M, a veces se denota T(M). Si R no es conmutativo, T(M) puede no ser un submódulo. En (Lam, 2007) se demuestra que R es un Anillo de Ore derecho si y solamente si T(M) es un submódulo de M para todos los R-módulos derechos. Como los dominios noetherianos derechos son anillos de Ore, esto cubre el caso cuando R es un dominio noetheriano derecho (que podría ser no conmutativo).

Más generalmente, sea M un R-módulo y S un magma multiplicativo de R. Un elemento m de M es llamado un elemento de S-torsion si existe un elemento s en S tal que s anula m, es decir s m = 0. En especial uno puede tomar S como el set de los elementos regulares del anillo R y recobrar la definición anterior.

Un elemento g de un grupo G es llamado un elemento de torsi̟ón del grupo si tiene orden finito, es decir si existe un entero positivo m tal que g^m = e, donde e denota la identidad en el grupo, y g^m denota el producto de m copias de g. Un grupo es llamado grupo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión, y es llamado grupo libre de torsión si su único elemento de torsión es la identidad. Todo grupo abeliano puede ser visto como un Z-módulo, y en este caso las dos nociones de torsión coinciden.

Referencias

• Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Irving Kaplansky, "Infinite abelian groups", University of Michigan, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001), «Torsión (álgebra)», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Lam, T. Y. (2007), Exercises in modules and rings, Problem Books in Mathematics, New York: Springer, pp. xviii+412, ISBN 978-0-387-98850-4, MR 2278849, doi:10.1007/978-0-387-48899-8 .