Cambio de variable

Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

• Ecuaciones bicuadradas
• Ecuaciones y sistemas exponenciales
• Ecuaciones de tercer grado
• Ecuaciones de cuarto grado

Ejemplo: resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable:

Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de $9^{x}-7\cdot 3^{x}-18=0\,$. Se siguen los siguientes pasos:

• Se factoriza 9 en 3² para que tenga la misma base que 7 · 3^x:

$3^{2x}-7\cdot 3^{x}-18=0\,$

• Se realiza el cambio de variable 3^x = z, por lo que 3^2x = z², y tenemos:

$z^{2}-7z-18=0\rightarrow \ z={\frac {7\pm {\sqrt {49+72}}}{2}}={\frac {7\pm 11}{2}}\rightarrow \ z_{1}=9;z_{2}=-2\,$

• Se deshace el cambio de variable:

$3^{x}=9\rightarrow \ 3^{x}=3^{2}\rightarrow \ x=2$

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3^x = - 2 no puede cumplirse.

Referencias

www.putostodos.com