Diferencia entre revisiones de «Vector unitario»
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En [[álgebra lineal]] y en la [[Física]], un '''vector unitario''' o '''versor''' es un [[Vector (física)|vector]] de [[Módulo (vector)|módulo]] [[uno]]. |
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En ocasiones se lo llama también '''vector normalizado'''. |
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== Notación == |
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Un vector unitario se denota frecuentemente con un [[acento circunflejo]] sobre su nombre, como <math>\mathbf{\hat r}</math> (se lee "r vector" o "vector r"). La notación mediante el uso de una [[breve]] (<math>\mathbf{\breve r} \,</math>) también es común, especialmente en desarrollos manuscritos. La tendencia actual es representar el vector en la dirección del vector <math>\mathbf r \,</math> en la forma <math>\mathbf u_{\text{r}} \,</math>. |
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== Definición == |
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Habiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo y habiendo presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos en esta sección una definición simbólica de vector unitario. |
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:Sea el vector '''v''' ∈ <big>ℝ</big><sup>n</sup>. Se dice que '''v''' es un '''vector unitario''' y se lo denota mediante <math>\mathbf{\hat v}</math> si y solamente si |'''v'''| = 1. |
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O en forma más compacta: |
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:<math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \Rightarrow \mathbf{v} \equiv \mathbf{\hat v} \Leftrightarrow | \mathbf{v} | = 1</math> |
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== Versor asociado a un vector == |
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Con frecuencia resulta conveniente disponer de un vector unitario que tenga la misma [[Vector (física)#Propiedades de un vector|dirección]] y [[Vector (física)#Propiedades de un vector|sentido]] que un vector dado <math>\mathbf v\,</math>. A tal vector se lo llama ''versor asociado al vector'' <math>\mathbf v\,</math> y se puede representar bien sea por <math>\hat\mathbf v\,</math> o por <math>\mathbf u_v\,</math> e indica una dirección en el espacio. |
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La operación vectorial que permite modificar el módulo de un vector sin alterar su dirección y sentido es [[Vector (física)#Producto por un escalar|dividirlo]] por su módulo, de modo que |
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{{Ecuación|<math>\mathbf{\hat v} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}</math>||}} |
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Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se lo llama '''normalización del vector''', razón por la cual es común referirse a un vector unitario como ''vector normalizado''. |
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El método para transformar una [[base ortogonal]] (obtenida, por ejemplo mediante el [[método de ortogonalización de Gram-Schmidt]]) en una [[base ortonormal]] (es decir, una [[Base (álgebra)|base]] en la que todos los vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos los vectores de la base utilitando la ecuación anterior. |
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== Producto escalar de dos vectores == |
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En el [[espacio euclídeo]], el [[producto escalar]] de dos vectores unitarios es simplemente el [[coseno]] del [[ángulo]] entre ellos. Esto es consecuencia de la definición de producto escalar y del hecho de que el módulo de ambos vectores es la unidad: |
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:<math>\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = | \mathbf{\hat u} | | \mathbf{\hat v} | \cos \theta</math> |
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Pero: |
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:<math>| \mathbf{\hat u} | = | \mathbf{\hat v} | = 1</math> |
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Por lo tanto: |
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:<math>\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = \cos \theta</math> |
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donde ''θ'' es el ángulo entre ambos vectores. |
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=== Proyección escalar === |
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De lo anterior, resulta que el producto de un vector por un vector es la [[proyección escalar]] del vector sobre la dirección determinada por el vector. |
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:<math>\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | | \mathbf{\hat n} | \cos \theta</math> |
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Como el módulo del vector <math>\mathbf{\hat n}</math> es la unidad, la ecuación anterior se transforma en: |
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:<math>\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | \cos \theta</math> |
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de donde es evidente lo afirmado al comienzo de este apartado. |
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Este resultado es muy frecuente en [[física]], donde en necesario operar, por ejemplo, con las componentes [[ortogonal]]es a una superficie. |
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== Versores cartesianos == |
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Los versores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos <math>x,\,y,\,z\,</math> se designan por <math>\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k\,</math>, respectivamente. |
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Los versores cartesianos permiten expresar [[vector|analíticamente]] los vectores por medio sus componentes cartesianas. |
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Ejemplo: la expresión analítica del vector <math>{\mathbf v = (1,-2,3)\,}</math> es |
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{{Ecuación|<math>{\mathbf v =\mathbf i -2\mathbf j +3\mathbf k}</math>||}} |
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== Véase también == |
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*[[Vector (física)|Vector]] |
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*[[Base ortonormal]] |
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*[[Coordenadas]] |
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*[[Coordenadas cartesianas]] |
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*[[Coordenadas polares]] |
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*[[Coordenadas curvilíneas]] |
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[[Categoría:Física]] |
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[[Categoría:Matemáticas]] |
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[[Categoría:Vectores]] |
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[[ar:متجه الوحدة]] |
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[[bg:Единичен вектор]] |
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[[ca:Vector unitari]] |
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[[da:Enhedsvektor]] |
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[[de:Einheitsvektor]] |
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[[en:Unit vector]] |
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[[eo:Unuobla vektoro]] |
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[[fi:Yksikkövektori]] |
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[[fr:Vecteur unitaire]] |
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[[he:וקטור יחידה]] |
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[[id:Vektor satuan]] |
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[[is:Einingarvigur]] |
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[[it:Versore]] |
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[[ja:単位ベクトル]] |
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[[ko:단위벡터]] |
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[[lt:Vienetinis vektorius]] |
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[[lv:Vienības vektors]] |
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[[nl:Eenheidsvector]] |
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[[nn:Einingsvektor]] |
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[[pl:Wersor]] |
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[[pt:Vetor unitário]] |
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[[ru:Единичный вектор]] |
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[[sk:Jednotkový vektor]] |
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[[sl:Enotski vektor]] |
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[[sv:Enhetsvektor]] |
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[[th:เวกเตอร์หนึ่งหน่วย]] |
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[[uk:Одиничний вектор]] |
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[[zh:单位向量]] |