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Diferencia entre revisiones de «Triángulo»

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{{otros usos|Triángulo (desambiguación)}}
Un '''triángulo''', en [[geometría]], es un [[polígono]] de tres lados determinado por tres [[segmento]]s de 3 [[recta]]s que se cortan, denominados lados (Euclides); o 3 [[punto]]s no alineados llamados [[vértice (geometría)|vértices]]. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.

Si está contenido en una superficie [[plano (geometría)|plana]] se denomina '''triángulo''', o '''trígono''', un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie [[esfera|esférica]] se denomina [[triángulo esférico]]. Representado, en [[cartografía]], sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

[[Imagen:Triangle illustration.svg|right|190px]]

== Propiedades de los triángulos ==
[[Imagen:Triangle with notations 2.svg|right]]

* Los tres [[ángulo interno|ángulos internos]] de un triángulo miden '''180°''' en [[geometría euclidiana]].<ref> En la [[geometría no euclidiana]], como la de [[Bernhard Riemann|Riemann]] y [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky|Lobachevsky]] la suma de los ángulos internos es diferente a 180[[grado|°]].</ref>

* La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

* El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

* Para cualquier triángulo se verifica el [[Teorema del seno]] que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
:<math>\frac{a}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}</math>

[[Imagen:Pythagorean.svg|thumb|El teorema de Pitágoras gráficamente.]]

* Para cualquier triángulo se verifica el [[Teorema del coseno]] que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

:<math>a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,</math>
:<math>b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,</math>
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,</math>

* Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden ''a'' y ''b'', y cuya hipotenusa mida ''c'', se verifica el [[Teorema de Pitágoras]]:

:<math> a^2 + b^2 = c^2 \,</math>

== Centros del triángulo ==
[[Geometría|Geométricamente]] se pueden definir varios [[Centro (Geometría)|centros]] en un triángulo:

*'''[[Baricentro]]''': es el [[Punto (geometría)|punto]] que se encuentra en la [[intersección]] de las [[Mediana (Geometría)|medianas]], y equivale al [[centro de gravedad]]
*'''[[Circuncentro]]''': es el [[Centro (Geometría)|centro]] de la [[circunferencia]] circunscrita, aquella que pasa por los tres [[vértice]]s del triángulo. Se encuentra en la [[intersección]] de las [[mediatriz|mediatrices]] de los [[lado]]s. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.
*'''[[Incentro]]''': es el [[Centro (Geometría)|centro]] de la [[circunferencia]] inscrita, aquella que es [[tangente]] a los [[lado]]s del triángulo. Se encuentra en la [[intersección]] de las [[Bisectriz|bisectrices]] de los [[ángulo]]s.
*'''[[Ortocentro]]''': es el [[Punto (geometría)|punto]] que se encuentra en la [[intersección]] de las alturas.
*'''[[Exincentro]]s''': son los [[Centro (Geometría)|centro]]s de las [[circunferencia]]s exinscritas, aquellas que son [[tangente]]s a los [[lado]]s del triángulo. Se encuentra en la [[intersección]] de una [[Bisectriz|bisectriz]] interior y dos [[Bisectriz|bisectrices]] exteriores de los [[ángulo]]s.

El único caso en que los tres primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

== Clasificación de los triángulos ==
Por la longitud de sus lados se clasifican en:

*'''[[Triángulo equilátero]]''': si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres [[ángulo]]s internos miden 60 [[grado sexagesimal|grados]] ó <math>\pi/3\,</math> [[radián|radianes]].)
*'''Triángulo isósceles''': si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
*'''Triángulo escaleno''': si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.


{| align="center"
|----- align="center"
| [[Imagen:Triangle.Equilateral.svg|Triángulo Equilátero]]
| [[Imagen:Triangle.Isosceles.svg|Triángulo Isósceles]]
| [[Imagen:Triangle.Scalene.svg|Triángulo Escaleno]]
|----- align="center"
| Equilátero || Isósceles || Escaleno
|}
Por la amplitud de sus ángulos:

*'''[[Triángulo rectángulo]]''': si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina ''catetos'' y al otro lado ''hipotenusa''.
*'''Triángulo oblicuángulo''': cuando no tiene un ángulo interior recto (90°).
**'''Triángulo obtusángulo''': si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
**'''Triángulo acutángulo''': cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
**'''Triángulo equiángulo''': suele llamarse [[Triángulo equilátero]] classificándolo según sus lados, puesto que si sus lados son iguales, sus ángulos también lo serán, y medirán 60º.


{| align="center"
|----- align="center"
| [[Imagen:Triangle.Right.svg|Triángulo Rectángulo]]
| [[Imagen:Triangle.Obtuse.svg|Triángulo Obtusángulo]]
| [[Imagen:Triangle.Acute.svg|Triángulo Acutángulo]]
|----- align="center"
| Rectángulo || Obtusángulo || Acutángulo
|}

Además, tienen estas denominaciones y características:

Los triángulos acutángulos pueden ser:

* '''Triángulo acutángulo isósceles''': con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.

* '''Triángulo acutángulo escaleno''': con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

* '''Triángulo rectángulo isósceles''': con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

* '''Triángulo rectángulo escaleno''': tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

* '''Triángulo obtusángulo isósceles''': tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

* '''Triángulo obtusángulo escaleno''': tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
<center>
{|{{tablabonita}}
! Triángulo
| [[triángulo equilátero|equilátero]]
| [[triángulo isósceles|isósceles]]
| [[triángulo escaleno|escaleno]]
|-
| acutángulo
| [[Imagen:Triángulo equilátero.svg|120px]]
| [[Imagen:Triángulo acutángulo isósceles.svg|120px]]
| [[Imagen:Triángulo acutángulo escaleno.svg|120px]]
|-
| rectángulo
|
| [[Imagen:Triángulo rectángulo isósceles.svg|120px]]
| [[Imagen:Triángulo rectángulo escaleno.svg|120px]]
|-
| obtusángulo
|
| [[Imagen:Triángulo obtusángulo isósceles.svg|120px]]
| [[Imagen:Triángulo obtusángulo escaleno.svg|120px]]
|}</center>

== Cálculo de la superficie de un triángulo ==
[[Imagen:Triangle.GeometryArea.png‎|thumb|280px|Área del triángulo: equivalencia gráfica.]]
[[Imagen:Triangle area.gif|right]]
La [[Área (geometría)|superficie]] de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la [[altura de un triángulo|altura]] y dividiendo entre dos (donde la altura es el segmento que parte perpendicular desde la base hasta llegar al vértice opuesto). La superficie ''S'' queda expresada del siguiente modo:

:<math>S =\frac{bh}{2} = \frac{base \cdot altura}{2}</math>

Siendo ''b'' la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y ''h'' la altura, o distancia entre la base y el vértice opuesto a dicha base.

Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (''a'', ''b'', ''c'') es posible calcular la superficie empleando la [[fórmula de Herón]].

:<math>S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

donde ''s''&nbsp;=&nbsp;&frac12;&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''c'') es el '''semiperímetro''' del triángulo.

Reescribiendo la fórmula anterior obtenemos:

:<math>S = {1\over{4}}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}</math>

Otra forma de calcular el área es:

:<math>S = {1\over{2}}{ab(sen \gamma\,)}</math>

donde '''a''' y '''b''' son dos lados del triangulo y <math>\gamma\,</math> es el ángulo comprendido entre ellos.

== Cálculo de elementos en un triángulo ==
Para resolver triángulos utilizamos generalmente el [[Teorema de Pitágoras]] cuando son triángulos rectángulos, o los Teoremas [[Teorema del seno|del seno]] y [[Teorema del coseno|del coseno]].

== Notas ==
{{Listaref}}

== Véase también ==
*[[Altura de un triángulo]]
*[[Vértice (geometría)|Vértice]]
*[[Teorema de Pitágoras]]
*[[Teorema del seno]]
*[[Teorema del coseno]]
*[[Recta de Euler]]
*[[Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas]]

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Triangles|triángulos}}
{{wikcionario|triángulo}}
{{destacado|km}}
{{destacado|pt}}

[[Categoría:Triángulos| ]]

[[an:Trianglo]]
[[ar:مثلث]]
[[arz:مثلث]]
[[ast:Triángulu]]
[[ay:Mujina]]
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[[bat-smg:Trėkompis]]
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