Diferencia entre revisiones de «Transformación canónica»

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Revisión del 14:40 12 ene 2010

Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplia, ya que existe la posibilidad de construir transformaciones más generales que involucren también a los momentos conjugados y al tiempo del tipo:

(2) $(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\longmapsto (\mathbf {P} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\mathbf {Q} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t))$

Si la anterior transformación es canónica y no incluye explícitamente el tiempo entonces se llama transformación canónica restringida (muchos manuales consideran sólo este tipo). Sucede que no toda transformación de tipo (2) es canónica. Las condiciones para que eso suceda es que en las coordenadas $(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )$ y en las coordenadas $(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )$ las ecuaciones de Hamilton tengan la forma: {{ecuación| </math>P_{m}\;</math> se completa el otro conjunto de ecuaciones que caracteriza a las ecuaciones canónicas: {{ecuación| $\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\qquad {\bf {{q}(t))}}$ de una partícula expresada en coordenadas canónicas en un sistema hamiltoniano $({\mathcal {M}},\omega ,{\hat {H}})$ y fijemos un instante de tiempo inicial t₀, lo cual define unas coordenadas:

$(\mathbf {p} _{0},\mathbf {q} _{0})=(\mathbf {p} (t_{0}),\mathbf {q} (t_{0}))$

Si consideramos un lapso de tiempo τ la posición del sistema en general habrá cambiado, con lo cual tendremos otro posible conjunto de coordendas canónicas:

$(\mathbf {p} _{\tau },\mathbf {q} _{\tau })=(\mathbf {p} (t_{0}+\tau ),\mathbf {q} (t_{0}+\tau ))$

En esas condiciones resulta que la transformación que lleva de las coordenadas iniciales a las nuevas coordenadas es una transformación canónica. De hecho puede definirse un grupo uniparamétrico de transformaciones canónicas mediante: {{ecuación| $\phi _{\tau }(\mathbf {p} _{0},\mathbf {q} _{0})=(\mathbf {p} _{\tau },\mathbf {q} _{\tau })$

Corchete de Poisson

Sean $(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )$ y $(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )$ dos conjuntos de coordenadas canónicas y sean $f,g\;$ dos funciones del álgebra de Poisson definidas sobre el espacio fásico, entonces se cumple que:

$[f,g]_{(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}=[f,g]_{(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )}$

Referencias

Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-En [[mecánica hamiltoniana]], una '''transformación canónica''' es un [[cambio de coordenadas]] canónicamente [[momento conjugado|conjugadas]] <math>(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) \rightarrow (\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t)</math> que preserva la forma canónica de las '''ecuaciones de Hamilton''', aun cuando la propia forma del Hamiltoniano no queda invariante.
-Las transformaciones canónicas resulta útiles en el [[ecuación de Hamilton-Jacobi|enfoque de Hamilton-Jacobi]] de la [[mecánica clásica]] (como medio de calcular [[integral de movimiento|magnitudes conservadas]]) y en el uso del [[Teorema de Liouville (mecánica hamiltoniana)|teorema de Liouville]] (que constituye la base de la [[mecánica estadística]] clásica).
-Por claridad, este artículo se restringe un resumen básico de su uso común en mecánica clásica. El tratamiento avanzado basado en el [[fibrado cotangente]], la [[derivada exterior|derivación exterior]] y [[topología simpléctica]] se resume en artículo sobre [[simplectomorfismo]]s. De hecho las transformaciones canónicas son un tipo especial de simplectomorfismo. Sin embargo, este artículo contiene una breve introducción matemática este enfoque moderno más avanzado.
-==Formulación directa==
-Puesto que la [[mecánica lagrangiana]] se basa en [[coordenadas generalizadas]] las [[ecuación de movimiento|ecuaciones de movimiento]] son invariantes bajo cambios de coordenadas dados por:
-{{ecuación|
-<math>\mathbf{q} \longmapsto \mathbf{Q}(\mathbf{q},t)</math>
-|1|left}}
-Y debido a la relación entre las ecuaciones de Hamilton y las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]], en las nuevas coordenadas las ecuaciones de Hamilton conservan su forma canónica. De hecho las transformaciones de tipo {{eqnref|1}} llamadas '''tranformaciones puntuales''' son un tipo particular de transformación canónica (ya que conserva inalterada las ecuaciones canónicas de Hamilton).
 Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplia, ya que existe la posibilidad de construir transformaciones más generales que involucren también a los [[momento conjugado|momentos conjugados]] y al tiempo del tipo:
@@ Línea 19: / Línea 7: @@
 Si la anterior transformación es canónica y no incluye explícitamente el tiempo entonces se llama '''transformación canónica restringida''' (muchos manuales consideran sólo este tipo). Sucede que '''no''' toda transformación de tipo {{eqnref|2}} es canónica. Las condiciones para que eso suceda es que en las coordenadas <math>(\mathbf{p},\mathbf{q})</math> y en las coordenadas <math>(\mathbf{P},\mathbf{Q})</math> las ecuaciones de Hamilton tengan la forma:
 {{ecuación|
+</math>P_{m}\;</math> se completa el otro conjunto de ecuaciones que caracteriza a las ecuaciones canónicas:
-<math> \begin{cases}
-\dot{\mathbf{p}} = -\cfrac{\partial H}{\partial \mathbf{q}} \\
-\dot{\mathbf{q}} =~~\cfrac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \end{cases} \qquad
-\begin{cases}
-\dot{\mathbf{P}} = -\cfrac{\partial K}{\partial \mathbf{Q}} \\
-\dot{\mathbf{Q}} =~~\cfrac{\partial K}{\partial \mathbf{P}} \end{cases}
-</math>
-|3a|left}}
-Donde el hamiltoniano "transformado" <math>K(\mathbf{P},\mathbf{Q})</math>, satisface la relación:
-{{ecuación|
-<math>K\left(\mathbf{P}(\mathbf{p},\mathbf{q},t),\mathbf{Q}(\mathbf{p},\mathbf{q},t);t\right) = H(\mathbf{p},\mathbf{q};t)</math>
-|3b|left}}
-Calculando directamente <math>\dot{Q}_m</math> obtenemos simplemente:
-{{ecuación|
-<math>
-\dot{Q}_{m} =
-\frac{\partial Q_{m}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial Q_{m}}{\partial \mathbf{p}} \cdot \dot{\mathbf{p}} =
-\frac{\partial Q_{m}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} - \frac{\partial Q_{m}}{\partial \mathbf{p}} \cdot \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}
-</math>
-||left}}
-La expresión anterior debe igualar a la derivada del hamiltoniano <math> H\;</math>respecto a <math>{P}_m\;</math>:
-{{ecuación|
-<math>
-\frac{\partial H}{\partial P_{m}} =
-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}} \cdot \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial P_{m}} +
-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial P_{m}}
-</math>
-||left}}
-Igualando las expresiones anteriores  se obtienen fácilmente las restricciones que deben cumplirse para que una transformación sea canónica:
-{{ecuación|
-<math>
-\left( \frac{\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}\right)_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} =
--\left( \frac{\partial q_{n}}{\partial P_{m}}\right)_{\mathbf{Q}, \mathbf{P}} \qquad
-\left( \frac{\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}\right)_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} =
-\left( \frac{\partial p_{n}}{\partial P_{m}}\right)_{\mathbf{Q}, \mathbf{P}}
-</math>
-|4a|left}}
-Mediante una deducción análoga para los momentos conjugados <math>P_{m}\;</math> se completa el otro conjunto de ecuaciones que caracteriza a las ecuaciones canónicas:
 {{ecuación|
 <math>
 \left( \frac{\partial P_{m}}{\partial p_{n}}\right)_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} =
 \left( \frac{\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}\right)_{\mathbf{Q}, \mathbf{P}} \qquad
+\bf{q}(t))</math> de una partícula expresada en [[Teorema de Darboux|coordenadas canónicas]] en un sistema hamiltoniano <math>(\mathcal{M},\omega, \hat{H})</math> y fijemos un instante de tiempo inicial ''t''<sub>0</sub>, lo cual define unas coordenadas:
-\left( \frac{\partial P_{m}}{\partial q_{n}}\right)_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} =
--\left( \frac{\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}\right)_{\mathbf{Q}, \mathbf{P}}
-</math>
-|4b|left}}
-Y por tanto el conjunto de ecuacions {{eqnref|4a}} y {{eqnref|4b}} son el conjunto de '''condiciones directas''' que hay que verificar para comprobar que una transformación es canónica.
-==Formulación de la función generatriz==
-Una forma más sencilla de trabajar con las transformaciones canónicas es definéndolas a partir de una función generatriz.
-==Propiedades==
-Dado que las transformaciones canónicas son simplectomorfismos del espcio de fases en sí mismo, una transformación canónica muestra siempre ciertas invariancias matemáticamente interesantes desde el punto de vista de la [[topología simpléctica]]:
-* Por ejemplo a medida que transcurre el tiempo las posiciones y momentos de un sistema hamiltoniano varían con el tiempo, si consideramos las coordenadas en dos instantes de tiempo diferentes resulta la transformación que lleva de unas a otras es una transformación canónica.
-* Igualmente sucede que el corchete de Poisson de dos funciones definidas sobre el espacio fásico es invariante respecto a las coordenadas escogidas. Es decir, si se calcula el corchete de Poisson en dos sistemas de coordenadas relacionados mediante una transformación canónica el resultado es la misma función.
-===Evolución temporal como transformción canónica===
-Consideremos la trayectoria <math>(\mathbf{p}(t),\mathbf{q}(t))</math> de una partícula expresada en [[Teorema de Darboux|coordenadas canónicas]] en un sistema hamiltoniano <math>(\mathcal{M},\omega, \hat{H})</math> y fijemos un instante de tiempo inicial ''t''<sub>0</sub>, lo cual define unas coordenadas:
 {{ecuación|
 <math>(\mathbf{p}_0,\mathbf{q}_0) = (\mathbf{p}(t_0),\mathbf{q}(t_0))</math>
@@ Línea 88: / Línea 23: @@
 {{ecuación|
 <math>\phi_\tau(\mathbf{p}_0,\mathbf{q}_0) = (\mathbf{p}_\tau,\mathbf{q}_\tau)</math>
-||left}}
-===Teorema de Liouville===
-{{AP|Teorema de Liouville (mecánica hamiltoniana)}}
-Consideremos una región del [[espacio fásico]] que evoluciona con el tiempo al desplazarse sobre su trayectoria cada uno de sus puntos se transforma al cabo del tiempo en una región de forma diferente ubicada, además, en otra parte del espacio fásico. El teorema de Liouville afirma que a pesar de la traslación y el cambio de forma el "volumen" total de dicha región permanecerá invariante. Además debido a la continuidad de la evolución temporal si la región es [[conjunto conexo|conexa]] incialmente seguirá siendo conexa todo el tiempo.
-Para probar esto basta tener en cuenta que la forma de volumen <math>{\eta}_\Gamma\;</math> del espacio fásico es el ''n''-ésimo producto de la forma simpléctica, y que esta de acuerdo con el teorema de Darboux se expresa como producto de pares de variables canónicamente conjugadas:
-{{ecuación|
-<math>\begin{array}{rl} {\eta}_\Gamma = \displaystyle\bigwedge_{i=1}^n \omega = \omega \wedge \cdots \wedge \omega &=
-dp_1 \wedge\cdots\wedge dp_n\wedge dq_1 \wedge \cdots \wedge dq_n \\&=
-dP_1 \wedge\cdots\wedge dP_n\wedge dQ_1 \wedge \cdots \wedge dQ_n \end{array}
-</math>
-||left}}
-De donde se sigue que el determinante de la transformación es 1 y por tanto:
-{{ecuación|
-<math>\forall V\subset\Gamma: \quad
-\int_V d^n\mathbf{q}\,d^n\mathbf{p} = \int_{\phi_\tau(V)} d^n\mathbf{Q}\,d^n\mathbf{P}</math>
-||left}}
-Esta última extensión es esencialmente el teorema de Liouville
 ===Corchete de Poisson===