Diferencia entre revisiones de «Teoría del orden»

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la teoria de orden es una mierda de culo
La '''teoría del orden''' es una rama de la [[matemática]] que estudia varias clases de [[relación binaria|relaciones binarias]] que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las definiciones más básicas. Para una rápida búsqueda de un término orden teórico, hay también un [[glosario de teoría del orden]]. Una [[lista de asuntos sobre orden]] recoge los artículos que existen en relación a esta teoría del orden.

== Trasfondo y motivación ==

El orden aparece por todas partes - por lo menos, si se trata de matemática y áreas relacionadas tales como la [[informática]]. El primer orden que uno típicamente encuentra en la educación matemática de la [[escuela primaria]] es el orden ≤ de los [[número natural|números naturales]]. Este concepto intuitivo es fácilmente extendido a otros conjuntos de [[número]]s, tal como los [[entero]]s y [[número real|reales]]. De hecho la idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas de numeración en general (aunque uno generalmente se interesa también en la [[diferencia]] real de dos números, que no viene dada por el orden). Otro ejemplo popular de un orden es el [[orden lexicográfico]] de las palabras en un diccionario.

Los tipos antedichos de orden tienen una propiedad especial: cada elemento se puede ''comparar'' con cualquier otro elemento, es decir es o mayor, o menor, o igual. Sin embargo, esto no siempre es un requisito deseable. Un ejemplo bien conocido es el orden de los [[subconjunto]]s de un [[conjunto]]. Si un conjunto contiene los elementos de cierto otro conjunto, entonces se puede decir que es menor o igual. Con todo, hay conjuntos que pueden no ser comparables de este modo, puesto que cada uno puede contener algún elemento que no esté presente en el otro. Por lo tanto, inclusión de subconjuntos es un ''orden parcial'', en comparación con los ''órdenes totales'' dados antes.

Alentadas por los amplios usos prácticos de los órdenes, se pueden definir numerosas clases especiales de conjuntos ordenados, algunas de las cuales han llegado a ser campos matemáticos por sí mismos. Además, la teoría del orden no se restringe a las varias clases de relaciones de orden, sino que también considera [[función matemática|funciones]] apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad orden teórica viene del [[Análisis funcional|análisis]] donde encontramos con frecuencia a las [[función monótona|funciones monótonas]].

== Introducción a las definiciones básicas ==

Esta sección tiene como objetivo dar una primera guía al reino de los conjuntos ordenados. Está dirigida al lector que tiene un conocimiento básico [[teoría de conjuntos]] y [[aritmética]] y que sabe qué es una [[relación binaria]], pero que no está familiarizado, hasta ahora, con consideraciones teóricas sobre orden.

=== Conjuntos parcialmente ordenados ===

Como ya se hizo alusión arriba, un orden es una relación binaria especial. Por lo tanto consideremos algún [[conjunto]] ''P'' y una [[relación binaria]] ≤ en ''P''. Entonces ≤ es un '''[[Conjunto parcialmente ordenado|orden parcial]]''' si es [[relación reflexiva|reflexiva]], [[relación antisimétrica|antisimétrica]], y [[relación transitiva|transitiva]], es decir, para todo ''a'', ''b'' y ''c'' en ''P'', tenemos que:

:''a'' ≤ ''a'' (reflexividad)
: si ''a'' ≤ ''b'' y ''b'' ≤ ''c'' entonces ''a'' ≤ ''c'' (transitividad)
: si ''a'' ≤ ''b'' y ''b'' ≤ ''a'' entonces ''a'' = ''b'', (antisimetría).

Un conjunto con un orden parcial se llama '''conjunto parcialmente ordenado''', o, en breve, '''poset''' (del [[idioma inglés|inglés]] '''''p'''artially '''o'''rdered '''set'''''). El término '''conjunto ordenado''' a veces también se utiliza para los ''posets'', mientras esté claro del contexto que no se quiere significar ninguna otra clase de órdenes. Comprobando esta propiedad, se ve inmediatamente que los bien conocidos órdenes de los [[número natural|naturales]], [[entero]]s, [[número racional|racionales]] y [[número real|reales]] son todos órdenes en el antedicho sentido. Sin embargo, tienen la propiedad adicional de ser '''[[orden total|total]]''', es decir, para todo ''a'', ''b'' en ''X''
: ''a'' ≤ ''b'' o ''b'' ≤ ''a'' (totalidad)
este orden se puede también llamar '''orden lineal''' o '''cadena'''. mientras que muchos órdenes clásicos son lineales, el orden entre [[subconjunto]]s de un [[conjunto]] proporciona un ejemplo donde éste no es el caso. De hecho, muchas propiedades avanzadas de los posets son interesantes principalmente para un orden no lineal.

=== Visualizando órdenes ===

Antes de proceder con más ejemplos y definiciones, será provechoso poder exhibir un orden de una manera gráfica conveniente, para proporcionar un "cuadro" que uno pueda tener en mente (o en papel) cuando se intente acceder a conceptos más abstractos. Para este propósito se han introducidos los, así llamados, [[diagrama de Hasse|diagramas de Hasse]]. Estos son [[grafo]]s donde los [[grafo|vértices]] son los elementos del ''poset'' y la relación de orden está indicada por las [[grafo|aristas]] y la posición relativa de los vértices. Los órdenes se dibujan de abajo hacia arriba: si un elemento ''x'' es menor que ''y'' entonces existe una trayectoria de ''x'' hasta ''y'' que se dirige hacia arriba. A menudo es necesario que la conexión entre puntos se intersequen, pero los puntos nunca deben ser situados en conexión directa entre otros dos puntos.

Aún los conjuntos infinitos pueden a veces ser ilustrados por diagramas similares, usando [[puntos suspensivos]] (...) después de dibujar un suborden finito que sea lo suficientemente instructivo. Esto funciona bien para los números naturales, pero falla para los reales, donde no existe el inmediato sucesor. Sin embargo, frecuentemente se obtiene una intuición relacionada con diagramas de este tipo.

Todos los órdenes antedichos son muy comunes en matemática, sin embargo hay también ejemplos que uno no considera a menudo como órdenes. Por ejemplo, la relación de identidad "=" en un conjunto es un orden parcial. Dentro de este orden, cualesquiera dos (i.e. distintos) elementos son incomparables. Es también la única relación que es un orden parcial y una [[relación de equivalencia]]. El diagrama de Hasse de tal '''orden discreto''' es solamente una colección de puntos etiquetados, sin ninguna arista entre ellos.

Otro ejemplo viene dado por la relación de divisibilidad "|". Para dos números naturales ''n'' y ''m'', escribimos ''n''|''m'' si ''n'' [[división (matemática)|divide]] a ''m'' sin resto. Uno ve fácilmente que esto da realmente un orden parcial. Un ejercicio instructivo es dibujar el diagrama de Hasse para el conjunto de los números naturales que son menores o iguales que, digamos, 13, ordenados por ''|''.

=== Elementos especiales dentro de un orden ===

En un conjunto parcialmente ordenado hay algunos elementos que desempeñan un papel especial. El ejemplo más básico está dado por el '''mínimo''' de un ''poset''. Por ejemplo, 0 es el mínimo de los números naturales y el [[conjunto vacío]] es el mínimo bajo el orden de subconjuntos. Formalmente, esto se puede describir por la propiedad:

:0 ≤ ''a'', para todo elemento ''a'' del conjunto ordenado.

Es frecuente encontrar la notación 0 para el mínimo, incluso cuando no se refiera a números. Sin embargo, en un orden de un conjunto numérico, esta notación puede ser inadecuada o ambigua, puesto que el número 0 no siempre es el mínimo. Un ejemplo es el antedicho orden de divisibilidad |, donde 1 es el mínimo puesto que divide a todo el resto de números. Por otra parte, 0 es un número que se divide por todo el resto de números. ¡Por lo tanto es el '''máximo''' del orden! Otros términos frecuentes para estos elementos son '''fondo''' y '''tapa''' o '''cero''' y '''uno'''. Pueden no existir los elementos "mínimo" o "máximo", como demuestra el ejemplo de los números reales. Por otra parte, si existen son siempre únicos. En contraste, consideremos la relación de divisibilidad | en el conjunto {2, 3, 4, 5, 6}. Aunque este conjunto no tiene ni tapa ni fondo, los elementos 2, 3, y 5 no tienen ningún elemento debajo, mientras que 4, 5, y 6 no tienen ninguno otro número arriba. Tales elementos se llaman '''minimales''' y '''maximales''', respectivamente.
Formalmente, un elemento ''m'' es minimal si:

: ''a'' ≤ ''m'' implica ''a'' = ''m'', para todo elemento ''a''.

Intercambiando ≤ con ≥ obtenemos la definición de maximal. Como el ejemplo demuestra, puede haber muchos elementos minimales o maximales y algún elemento puede ser maximal y minimal (e.g. 5 arriba). Sin embargo, si hay un elemento mínimo, entonces es el único elemento minimal del orden. (Si se sigue estrictamente la definición dada. Lamentablemente hay una tradición matemática "a contrario": '''considerar los minimales y maximales en el conjunto despojado de su máximo y su mínimo, si los hubiere'''. Esto debe recordarse. N.T.). Una vez más, en los posets no siempre hay infinitos elementos maximales - el conjunto de todos los subconjuntos finitos en un conjunto infinito dado, ordenado por inclusión de subconjuntos, proporciona uno, entre muchos, contraejemplo. Una herramienta importante para asegurar la existencia de elementos maximales bajo ciertas condiciones es el '''[[Lema de Zorn]]'''.

Los subconjuntos de un conjunto parcialmente ordenado heredan el orden. Ya aplicamos esto al considerar el subconjunto {2, 3, 4, 5, 6} de los números naturales con el orden de divisibilidad inducido. Hay también elementos de un ''poset'' que son especiales con respecto a cierto subconjunto del orden. Esto conduce a la definición de '''[[mayorante|cota superior]]'''. Dado un subconjunto ''S'' de cierto poset ''P'', una cota superior de ''S'' es un elemento ''b'' de ''P'' que está sobre todo elemento de ''S''. Formalmente, esto significa que
: ''s'' ≤ ''b'', para todo ''s'' en ''S''.

Cota inferior se define invirtiendo el orden. Por ejemplo, -5 es una cota inferior de los números naturales como subconjunto de los enteros. Dado un conjunto de conjuntos , una cota superior para éstos conjuntos viene dado por su [[unión (teoría de conjuntos)|unión]]. De hecho, esta cota superior es muy especial: es el más pequeño conjunto que contiene todos los conjuntos dados. Por lo tanto, encontramos la '''[[supremo|menor cota superior]]''' de un conjunto de conjuntos. Este concepto se llama también '''supremo''' y para un conjunto ''S'' se escribe sup ''S'' o V''S'' para su menor cota superior. Inversamente, la '''[[supremo|mayor cota inferior]]''' se la conoce como '''ínfimo''' y se denota inf ''S'' o ^''S''. Este concepto desempeña un papel importante en muchos usos de la teoría del orden. Para dos elementos ''x'' y ''y'', uno también escribe ''x'' v ''y'' y ''x'' ^ ''y'' para sup{''x'', ''y''} e inf{''x'', ''y''}, respectivamente.

Usando Wikipedia [[meta:MediaWiki User's Guide: Editing mathematical formulae|TeX markup]], uno puede también escribir <math>\vee</math> y <math>\wedge</math>, así como símbolos grandes <math>\bigvee</math> y <math>\bigwedge</math>. Observe, sin embargo, que todos esos símbolos pueden no tener símbolo de tamaño correspondiente al de la fuente del texto estándar y, por tanto, se prefiere utilizarlos en líneas adicionales. Muchos de los [[Navegador web|navegadores]] de hoy son incapaces de representar ∨ para v y ∧ para ^ en algunas plataformas, y por lo tanto se evita aquí.

Considere otro ejemplo en la relación | para los números naturales. La menor cota superior de dos números es el menor número que es divisible por ambos, es decir el [[mínimo común múltiplo]]. Mayor cota inferior es, alternativamente, el [[máximo común divisor]].

=== Dualidad ===

En las anteriores definiciones, a menudo, observamos que un concepto puede ser definido por invertir simplemente el orden en una definición anterior. Este es el caso para "menor" y "mayor", para "mínimo" y "máximo", para "cota superior " y "cota inferior", etcétera. Esto es una situación general en teoría de orden: Un orden dado se puede invertir con solamente intercambiar su dirección, pictóricamente dar vuelta el diagrama de Hasse de arriba para abajo. Esto da el, así llamado, '''orden''' '''dual''', '''inverso''' u '''opuesto'''.

Cada definición orden teórica tiene su dual: es la noción que se obtiene al aplicar la definición al orden inverso. Dada la simetría de todos los conceptos, esta operación preserva los teoremas del orden parcial. Para un resultado matemático dado, se puede, simplemente, invertir el orden y substituir todo definición por su dual y obtener otro teorema válido. Esto es importante y útil, puesto que uno obtiene dos teoremas al precio de uno. Más detalle y ejemplos se pueden encontrar en el artículo sobre [[dualidad (teoría de orden)|dualidad en teoría de orden]].

=== Construyendo nuevos órdenes ===

Hay muchas maneras de construir órdenes, o para combinar órdenes en uno nuevo. El orden dual es un primer ejemplo. Otra importante construcción es el [[producto cartesiano]] de dos conjuntos parcialmente ordenados, junto con el [[orden producto]] en pares de elementos. Esto se define por los órdenes originales haciendo (''a'', ''x'') ≤ (''b'', ''y'') si ''a'' ≤ ''b'' y ''x'' ≤ ''y''. La [[unión disjunta]] de dos posets es otra típica construcción, donde el orden es exactamente la unión de los órdenes originales.

Como en el caso del orden usual de números, cada orden parcial ≤ da lugar a un [[orden estricto]] <, al definir ''a'' < ''b'' si ''a'' ≤ ''b'' y no ''b'' ≤ ''a''. Esta transformación puede ser invertida haciendo ''a'' ≤ ''b'' si ''a'' < ''b'' o ''a'' = ''b''.

== Funciones entre órdenes ==

Es razonable requerir que las funciones entre conjuntos parcialmente ordenados tengan ciertas propiedades adicionales, que se relacionen con la relación de orden de los dos conjuntos. La condición más fundamental que se presenta en este contexto es la [[función monótona|monotonía]]. Un función ''f'' de un ''poset'' ''P'' a un ''poset'' ''Q'' es '''monótona''' u '''orden preservante''', si ''a'' ≤ ''b'' en ''P'' implica ''f''(''a'') ≤ ''f''(''b'') en ''Q''. La conversa de esta implicación conduce a una función que es '''orden reflectante''', es decir una función ''f'' como arriba para la cuál ''f''(''a'') ≤ ''f''(''b'') implica ''a'' ≤ ''b''. Por otra parte, una función puede también ser '''orden inversora''' o '''antítona''', si ''a'' ≤ ''b'' implica ''f''(''a'') ≥ ''f''(''b'').

Una '''inmersión de orden''' es una función ''f'' entre órdenes que es orden preservante y orden reflectante. Ejemplos para esta definición se encuentran fácilmente. Por ejemplo, función que mapea un número natural en su sucesor es claramente monótona con respecto al orden natural. Cualquier función de un orden discreto, es decir un conjunto ordenado por el orden identidad "=", es también monótono. Mapear cada número natural al correspondiente número real da un ejemplo para una inmersión de orden. El [[complemento (teoría de conjuntos)|complemento conjuntista]] en un [[conjunto de partes]] es un ejemplo de una función antítona.

Una importante pregunta es cuándo dos órdenes son "esencialmente iguales", es decir cuándo son lo mismo [[salvo]] retitular elementos. Un '''[[isomorfismo de orden]]''' es una función que define tal renombrar. Un isomorfismo de orden es una función monótona [[biyectiva]] que tiene una inversa monótona. Esto es equivalente a una inmersión de orden [[sobreyectiva]]. Por lo tanto, la imagen ''f''(''P'') de una inmersión de orden es siempre isomorfa a ''P'', lo que justifica el término "inmersión".

Un más elaborado tipo de función es la, así llamada, '''[[conexión de Galois]]'''. Conexiones de Galois monótonas pueden ser vistas como una generalización de los isomorfismos de orden, puesto que están constituidas por dos funciones en inversa dirección, que no son inversas absolutas una de la otra, pero tienen cercana relación.

Otro tipo especial de endofunción en un ''poset'' es el '''[[operador de clausura]]''', que no solamente es monotónico, sino también [[idempotente]], es decir. ''f''(''x'') = ''f''(''f''(''x'')), y '''[[extensivo]]''', es decir. ''x'' ≤ ''f''(''x''). éste tiene mucho uso en todo clase de "clausuras" que aparecen en matemática.

Además de compatible con la mera relación de orden, una función entre ''posets'' puede también ''comportarse bien'' con respecto a elementos especiales y construcciones. Por ejemplo, cuando se habla de posets con menor elemento, parece razonable considerar solamente una función monotónica que preserve este elemento, es decir que mapee menor elemento en menor elemento. Si el ínfimo binario ^ existe, entonces una propiedad razonable puede ser requerir que ''f''(''x''^''y'') = ''f''(''x'') ^ ''f''(''y''), para todo ''x'' y ''y''. Todas estas propiedades, y de hecho muchas más, pueden ser agrupadas bajo la etiqueta [[función que preserva límite (teoría de orden)|función que preserva límite]].

Finalmente, uno puede invertir la visión, cambiar ''funciones de orden'' a ''orden de funciones''. De hecho, las funciones entre dos ''posets'' ''P'' y ''Q'' pueden ser ordenadas ''vía'' el [[orden punto a punto]]. Para dos funciones ''f'' y ''g'', se tiene ''f'' ≤ ''g'' si ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') para todo elemento ''x'' en ''P''. Esto ocurrirá por ejemplo en [[teoría de dominios]], donde los [[espacio funcional|espacios funcionales]] desempeñan un importante papel.

== Tipos especiales de orden ==

Muchas de las estructuras que son estudiadas en teoría de orden emplean relación de orden con propiedades adicionales. De hecho, algunas relaciones que no son de orden parcial son de especial interés. Principalmente, el concepto de un [[Conjunto preordenado|preorden]] tiene que ser mencionado. Un preorden es unoarelación que esreflexiva y transitiva, pero no necesariamente antisimétrica. Cada preorden induce una [[relación de equivalencia]] entre elementos, donde ''a'' es equivalente a ''b'', si ''a'' ≤ ''b'' y ''a'' ≥ ''b''. Los preórdenes pueden ser convertidos en órdenes identificando todo elemento equivalente con respecto a esta relación.

Tipos básicos de órdenes especiales ya se dieron en forma de orden total. Una simple pero útil propiedad adicional conduce al, así llamado, '''[[buen orden]]''', dentro del que todo subconjunto no vacío tiene un menor elemento (también denominado primer elemento). Muchos otros tipos de orden se presentan cuando se garantiza la existencia de ínfimos y supremos de ciertos conjuntos. Centrándose en este aspecto, generalmente referido como [[completo (teoría de orden)|completitud]] de órdenes, se obtiene:

* ''Posets'' [[acotado]]s, es decir ''posets'' con menor y mayor elementos (que son precisamente supremo e ínfimo del conjunto vacío),

* [[reticulado (orden)|reticulados]], en que cada conjunto finito no vacío tiene supremo e ínfimo,

* [[reticulado completo|reticulados completos]], donde cada conjunto tiene supremo e ínfimo, y

* [[orden parcial dirigido completo|órdenes parciales dirigidos completos]] (dcpos), que garantizan la existencia de supremo en todo [[conjunto dirigido|subconjunto dirigido]] y son estudiados en [[teoría de dominios]].

Sin embargo, uno puede ir incluso más allá: si todo ínfimo finito no vacío existe, entonces ^ puede ser visto como una operación binaria total en el sentido del [[álgebra universal]]. Por lo tanto, en un reticulado, dos operaciones ^ y v están disponibles, y se puede definir nuevas propiedades dando identidades, tal como

: ''x'' ^ (''y'' v ''z'') = (''x'' ^ ''y'') v (''x'' ^ ''z''), para todo ''x'', ''y'', y ''z''.

Este condición se llama '''distributividad''' y dar lugar a los [[reticulado distributivo|reticulados distributivos]]. Hay algunas otras importantes leyes de distributividad que son discutidas en el artículo sobre la [[distributividad (teoría de orden)|distributividad en teorías de orden]]. Algunas estructuras de orden adicionales que son a menudo especificadas ''vía'' operación algebraica y definiendo identidades son

* [[álgebra de Heyting|álgebras de Heyting]] y

* [[álgebra de Boole|álgebras de Boole]],

en que ambas introducen una nueva operación ~ llamada '''negación'''. Ambas estructuras desempeñan un papel en [[lógica matemática]] y especialmente las álgebras de Boole tienen importante uso en [[informática]]. Finalmente, varias estructuras en matemática combinan orden con operaciones aún más algebraicas, como el caso de [[quantal]]es, que permite la definición de una operación de adición.

Existen muchas otras importantes propiedades de los ''posets''. Por ejemplo, un ''poset'' es '''localmente finito''' si cada [[intervalo (matemática)|intervalo]] cerrado [''a'', ''b''] en él es [[finito]]. Los posets localmente finitos dan lugar a [[álgebra de incidencia|álgebras de incidencia]] que alternadamente pueden ser utilizadas para definir característica de Euler de ''posets'' finitos acotados.

== Subconjuntos de conjuntos ordenados ==

En un conjunto ordenado, uno puede definir muchos tipos especiales de subconjuntos basados en el orden dado. Un ejemplo simple son los '''conjuntos superiores''', es decir conjuntos que contienen todo elemento que esté sobre ellos en el orden. Formalmente, la '''clausura superior''' de un conjunto ''S'' en un poset ''P'' viene dado por el conjunto {x en ''P''| hay algún ''y'' en ''S'' con ''y'' ≤ ''x''}. Un conjunto que es igual a su clausura superior se llama un conjunto superior. '''conjunto inferior''' es definido dualmente.

Subconjuntos inferiores más complicados son los [[ideal (teoría de orden)|ideales]], que tienen la propiedad adicional que cada dos de sus elementos tiene cota superior dentro del ideal. Su noción dual son los [[filtro (matemática)|filtros]]. Un concepto relacionado es el de [[conjunto dirigido|subconjunto dirigido]], que como un ideal contiene cota superior de un subconjunto finito, pero no tiene porque ser un conjunto inferior. Además, a menudo se generaliza a conjuntos preordenados.

Un subconjunto que es - como sub-poset - linealmente ordenado, se llama una '''[[Orden total|cadena]]'''. La noción opuesta, '''[[anticadena]]''', es un subconjunto que no contiene ningún par de elementos comparables, es decir que es un [[estructura trivial|orden discreto]].

== Áreas matemáticas relacionadas ==

aunque la mayoría de las áreas matemáticas usan orden de uno u otra manera, también hay algunas teorías que tienen una relación que va mucho más allá de la mera utilización. Junto con su importante punto de contacto con la teoría de orden, algunas serán presentadas abajo.

=== Álgebra universal ===

Según lo ya mencionado, los métodos y el formalismo del [[álgebra universal]] son una herramienta importante para muchas consideraciones orden teóricas. Aparte de formalizar órdenes en términos de estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades, se pueden también establecer otras conexiones con el álgebra. Un ejemplo es la correspondencia entre las [[álgebra de Boole|álgebras de Boole]] y los [[anillo de Boole|anillos de Boole]]. Otros aspectos tienen que ver con la existencia de construcciones libres, tal como los ''reticulados libres'' basados en un conjunto de generadores. Además, los operadores de clausura son importantes en el estudio del álgebra universal.

=== Topología ===

En [[topología]] el orden desempeña un muy prominente papel. De hecho, el conjunto de los [[abierto]]s proporciona un clásico ejemplo de un reticulado completo, más exactamente un álgebra de Heyting completa (o "'''marco'''" o "'''locale'''"). Los [[filtro (matemática)|filtros]] y las [[red]]es son nociones relacionadas con la teoría de orden y el [[conjunto cerrado|operador clausura conjuntista]] puede ser utilizado para definir una topología. Más allá de esta relación, la topología de puede mirar únicamente en términos del reticulado de conjuntos abiertos, que conduce al estudio de la [[topología sin puntos]]. Además, un preorden natural de elementos del conjunto subyacente de una topología viene dada por el, así llamado, [[orden de especialización]], que es realmente un orden parcial si la topología es [[T0 espacio|T<sub>0</sub>]].

Inversamente, en teoría de orden, uno a menudo hace uso de resultados topológicos. Hay varias maneras de definir subconjuntos de un orden que pueden ser considerados como conjunto abiertos de una topología. Especialmente, es interesante considerar topologías en un ''poset'' (''X'', ≤) que reobtiene ≤ como su orden de especialización. La ''más fina'' de tales topologías es la [[topología de Alexandrov]], dada al tomar todos los conjuntos superiores ("upper") como abiertos. Inversamente, la ''más gruesa'' topología que induce el orden de especialización es la [[topología superior]], que tiene los
complementos de los [[ideal (teoría de orden)|ideales principales]] (es decir conjuntos de la forma { ''y'' en ''X''|''y'' ≤ ''x''} para cada ''x'') como una [[base (topología)#Subbase|subbase]]. Adicionalmente, una topología con orden de especialización ≤ puede ser [[orden consistente]], significando que sus conjuntos abiertos son "inaccesibles por supremos dirigidos" (con respecto ≤). La topología más fina de un orden consistente es la [[topología de Scott]], que es más gruesa que la topología de Alexandrov. Una tercera topología importante en esta línea es la [[topología de Lawson]]. Hay cercanas conexiones entre estas topologías y los conceptos de la teoría de orden. Por ejemplo, una función preserva supremos dirigidos si y sólo si es [[continuo]] con respecto a la topología de Scott (por este razón esta propiedad orden teórica es también llamada [[Scott continua|continuidad de Scott]]).

=== Teoría de categorías ===

La visualización de órdenes con diagramas de Hasse tiene una generalización directa: en vez exhibir elemento menores bajo los mayores, la dirección del orden se puede también representar dando la dirección de las aristas del grafo. De esta manera, cada orden se ve como equivalente a un [[grafo dirigido acíclico]], donde los nodos son los elementos del ''poset'' y hay una trayectoria dirigida de ''a'' a ''b'' si y solamente si ''a'' ≤ ''b''. Eliminando el requisito acíclico, uno puede también obtener todos los preórdenes.

Cuando es equipado con todas las aristas transitivas, estos grafos son solamente [[teoría de las categorías|categorías]] especiales, donde los elementos son los objetos y cada conjunto de morfismos entre dos elementos es a lo sumo un [[singletón]]. Funciones entre órdenes se convierten en funtores entre categorías. Interesantemente, muchas ideas de la teoría de orden son simplemente pequeñas versiones de los conceptos de la teoría de las categorías. Por ejemplo, un ínfimo es precisamente un [[producto (teoría de las categorías)|producto categórico]]. Más en general, uno puede subsumir supremos e ínfimos bajo la noción abstracta de un [[límite (teoría de las categorías)|límite categórico]] (o ''colímite'', respectivamente). Otro lugar en donde las ideas categoriales surgen es el concepto de una conexión de Galois (monótona), que es precisamente igual a un par de [[funtores adjuntos]].

Pero la teoría de las categorías también tiene un impacto en la teoría de orden de mayor escala. Clases de ''posets'' con funciones apropiadas según lo discutido arriba forman interesantes categorías. A menudo uno puede también establecer construcción de órdenes, como el [[orden producto]], en término de categoría. Otras intuiciones resultan cuando categorías de orden resultan [[equivalencia categoría|equivalentes categóricas]] a otra categoría, por ejemplo de espacios topológicos. Este línea de investigación conduce a varios ''teoremas de representación'', a menudo recogidos bajo la etiqueta [[dualidad de Stone]].

== Esquema de temas relacionados ==
*[[Álgebra de incidencia]]
*[[Función de Möbius]]

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|+ [[Teoría del orden]]
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| [[Conjunto bien ordenado|Bien ordenado]]
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{|
| [[Orden total]]
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{|
| [[Conjunto parcialmente ordenado|Parcialmente ordenado]]
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{|
| [[Conjunto preordenado|Preordenado]]
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| [[Relación reflexiva]]
|-
| [[Relación transitiva]]
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|}
|-
| [[Relación antisimétrica]]
|}
|}
|-
| [[Relación total]]
|}
|}
|-
| [[Orden bien fundamentado]]
|}
|}
|}
|}
|}

== Referencias ==
* G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, and D. S. Scott, ''Continuous Lattices and Domains'', In ''Encyclopedia of Mathematics and its Applications'', Vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1

[[Categoría:Teoría del orden| ]]

[[en:Order theory]]
[[fr:Relation d'ordre]]
[[he:סדר חלקי]]
[[io:Relaciono di rango]]
[[pl:Częściowy porządek]]
[[tr:Sıralamalar]]

Revisión del 21:48 2 nov 2009

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