Segundo axioma de numerabilidad

Se dice que un espacio topológico verifica el segundo axioma de numerabilidad (o que es segundo numerable, o segundo contable) si su topología tiene una base numerable. En forma abreviada, suele decirse también que el espacio es IIAN o ANII.

El ser ANII es una propiedad global que limita el número de abiertos de la topología. De hecho, se demuestra que si (X,T) es ANII, entonces el cardinal de T es menor o igual que el cardinal del continuo.

Ser ANII es una propiedad hereditaria: todo subespacio de un espacio ANII también lo es. El producto numerable de espacios ANII es a su vez ANII.

Ejemplos

• El espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ con su topología usual es ANII. Aunque la base formada por las bolas abiertas no es numerable, podemos encontrar una base que sí lo es: la formada por las bolas de radio racional y cuyo centro tenga coordenadas racionales.
• La táctica anterior puede repetirse en un espacio métrico separable ( i.e. que contenga un subconjunto denso numerable A). Como base basta escoger de nuevo las bolas de radio racional centradas en A.