Diferencia entre revisiones de «Potenciación»
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Para calcular límites cuyo valor aparente es <math>0^0</math> suele usarse la [[Regla de L'Hopital]]. |
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=== Potencia de exponente 1 === |
=== Potencia de exponente 1 igual a cabeza === |
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Toda potencia de exponente 1 es igual a la base. |
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base. |
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Revisión del 21:28 21 ene 2010
La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.
Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:
- Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por si mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
Por ejemplo: .
- cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.
- cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:
Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00 que, en principio, es una indefinición (ver cero).
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:
Potencia de exponente 0
Cualquier número elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1
El caso especial se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.
Por ejemplo, puede argumentarse que es el igual al valor del límite
y como para , dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite
y como para , dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.
El debate sobre el valor de la forma tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 00=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los 1830s, Libri[1][2] publicó un argumento para asignar 1 como valor de 00 y August Möbius[3] lo apoyó afirmando erróneamente que
- siempre que
Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo
cuyo límite cuando es , lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que 00 debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).[4]
En la actualidad, suele considerarse la forma como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido. [5] [6][7]
Para calcular límites cuyo valor aparente es suele usarse la Regla de L'Hopital.
Potencia de exponente 1 igual a cabeza
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.
ejemplo:
Multiplicacion de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual base «a» es igual a la potencia de dicha base «a» y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):
ejemplos:
Division de Potencias de Igual Base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes):
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n".
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
Propiedades que no cumple la potenciación
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:
No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.
En general:
Tampoco se cumple la propiedad asociativa:
Potencia de base 10
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.
Ejemplos:
Potencia de números complejos
Para cualquiera de los números reales se tiene la identidad:
Representación gráfica
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Qfunction.png/220px-Qfunction.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/X_cubed_plot.svg/220px-X_cubed_plot.svg.png)
La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su vértice se situa en el punto (0, 0) y su crecimiento es positivo en sentido del eje Y (en el primero y segundo cuadrantes).
La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola. Su vértice es el punto (0, 0), pero una rama crece en la dirección del eje Y (en el primer cuadrante) y la otra decrece (en el tercer cuadrante).
Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.
Véase también
Referencias
- ↑ Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
- ↑ Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
- ↑ A. F. Möbius, Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136.
- ↑ Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422.
- ↑ Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (en inglés). Universidad de Utah. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!»
- ↑ Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?» (en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.»
- ↑ Gentile, Enzo R. (1976). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires. p. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x0=1. (00 queda indefinido).»