Notación de Van der Waerden

En física teórica, la notación de Van der Waerden​​ se refiere al uso de espinores de dos componentes (según la ecuación de Weyl) en las cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Es un procedimiento estándar en la teoría de twistores y de la supersimetría. Lleva el nombre del matemático neerlandés Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996).

Índices con punto

Índices sin punto (índices quirales)

Los espinores con índices sin punto más bajos tienen quiralidad a izquierdas y se denominan índices quirales.

$\Sigma _{\mathrm {left} }={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}$

Índices con punto (índices antiquirales)

Los espinores con índices de puntos elevados, más una barra superior en el símbolo (no en el índice), son a derechas y se denominan índices antiquirales.

$\Sigma _{\mathrm {right} }={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}$

Sin los índices, es decir. usando una "notación libre de índice", se conserva una barra superior en el espinor a derechas, ya que surge ambigüedad entre la quiralidad cuando no se indica ningún índice.

Índices con guion superior

Los índices con un guion superior se denominan índices de Dirac y son el conjunto de índices con punto y sin punto, o quirales y antiquirales. Por ejemplo, si

$\alpha =1,2\,,{\dot {\alpha }}={\dot {1}},{\dot {2}}$

entonces un espinor en la base quiral se representa como

$\Sigma _{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}$

donde

${\hat {\alpha }}=(\alpha ,{\dot {\alpha }})=1,2,{\dot {1}},{\dot {2}}$

En esta notación, el adjunto de Dirac (también llamado conjugado de Dirac) es

$\Sigma ^{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\chi ^{\alpha }&{\bar {\psi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}$

Véase también

• Ecuación de Dirac
• Símbolos de Infeld-Van der Waerden
• Transformación de Lorentz
• Ecuación de Schrödinger-Pauli
• Cálculo de Ricci

Bibliografía

• Spinors en física
• P. Labelle (2010), Supersymmetry, Demystified series, McGraw-Hill (USA), ISBN 978-0-07-163641-4 .
• Hurley, D.J.; Vandyck, M.A. (2000), Geometry, Spinors and Applications, Springer, ISBN 1-85233-223-9 .
• Penrose, R.; Rindler, W. (1984), Spinors and Space–Time 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-24527-3 .
• Budinich, P.; Trautman, A. (1988), The Spinorial Chessboard, Springer-Verlag, ISBN 0-387-19078-3 .

• Datos: Q3878705