Función de Walsh

En análisis matemático, el conjunto de las funciones de Walsh forman una base ortogonal de las funciones de cuadrado integrable en el intervalo unidad. Las funciones toman únicamente los valores -1 y 1, en subintevarlos definidos por fracciones diádicas. Son muy usadas en electrónica y otras aplicaciones de ingeniería.

Las funciones ortogonales de Walsh son usadas para realizar la transformada de Hadamard, que es muy similar a la forma en que la ondas senoidales son usadas para realizar la transformada de Fourier.

Las funciones de Walsh están relacionadas con las funciones de Haar, ya que ambas forman un sistema ortogonal completo. El sistema de funciones de Haar puede ser por un lado preferible debido a sus propiedades wavelet (es decir localización), por otro lado las funciones de Walsh están acotadas (de hecho, tienen módulo 1 en todo punto).

El orden de la función es 2^s, donde s es un entero, lo cual significa que hay 2^s intervalos (de tiempo) cuyo valor son -1 o 1.

Una lista de las 2^s funciones de Walsh hacen una matriz de Hadamard.

Una forma de definir las funciones de Walsh es usando las representaciones en dígitos binarios de los números reales y enteros. Para un entero k considere la representación de dígitos binarios

k = k₀ + k₁2+...+k_m2^m,

para algunos enteros m y con k_i equivalentes a 0 o a 1. Entonces si k es el transformada de código Gray de j - 1, la función de Walsh j - th en el punto x, con 0 ≤ x < 1, es

wal_j(x) = (-1)^{(k₀x₀ + ... + k_mx_m)},

si

x = x₀ / 2+ x₁ / 2² + x₂ / 2³+...,

donde de nuevo x_i es 0 o 1 (solo un número finito de veces 1, si x es un número racional)

Las funciones de Walsh pueden ser interpretadas como los caracteres de

(Z₂)^N,

el grupo de sequencias Z₂, usando este punto de vista, muchas generalizaciones han sido definidas.

Las aplicaciones (en matemáticas) pueden ser encontradas en cualquier lugar donde se usen representaciones dígitales, es decir, en los análisis digitales de los métodos de quasi-Monte Carlo. Las funciones de Walsh son usadas en Radio Astronomía para reducir los efectos de la diafónia eléctrica entre las señales de las antenas.