Diferencia entre revisiones de «Función periódica»

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Revisión del 20:42 25 jul 2009

En matemática, una función es periódica si los valores de la variable dependiente se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado período:

f\left(x\right)=f\left(x+P\right)

Donde P es el período.

Ejemplos

En la vida diaría existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es aquel en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el mismo período.

Para una función aplicada al conjunto de los números reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su gráfica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares.

De forma más explícita, se dice que una función f es periódica con período P mayor que cero si cumple que

f\left(x+P\right)=f\left(x\right)

para todos los valores de x en el dominio de f. De manera análoga, una función no periódica es aquella que no posee dicho período P.

Un ejemplo sencillo es la función f que devuelve la parte fraccional de su argumento:

f\left(0,5\right)=f\left(1,5\right)=f\left(2,5\right)=0,5

Si una función f es periódica con período P, entonces para todo x en el dominio de f y para todo n entero:

f\left(x+Pn\right)=f\left(x\right)

En el ejemplo anterior, el valor de P es 1, dado que:

f\left(x\right)=f\left(x+1\right)=f\left(x+2\right)={\mbox{etc.}}

Esto no implica que el período de una función tenga que recibir el menor valor posible que satisfaga la expresión anterior, sino que podría tomar cualquier otro.

Las funciones trigonométricas, tales como la función seno o coseno, son casos típicos de funciones periódicas, en las que su período es de 360 grados. En el caso de la tangente, vemos que su período es menor, siendo este de 180 grados.

Archivo:SexaSinCosTan.svg javiier teamo!!!!

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+[[Imagen:Función Periódica.svg|right|300px]]
-[[Archivo:Sin.svg|thumb|256px|La onda periódica más simple: una onda armónica. En este ejemplo, ''A=1, Ω=1 y θ=0''.]]
-Las '''ondas periódicas''' son aquellas [[Onda (física)|ondas]] que muestran periodicidad respecto del tiempo, esto es, describen ciclos repetitivos. En una onda periódica se cumple:
+En [[matemática]], una [[Función matemática|función]] es '''periódica''' si los valores de la variable dependiente se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado '''período''':
-<center><math>x_a (t) = x_a (t+T_p) = x_a (t+nT_p) \,\!</math></center>
+: <math>f \left ( x \right ) = f \left ( x + P \right )</math>
+Donde '''P''' es el período.
-donde el periodo propio fundamental <math>T_p = \frac {1}{F} \,\!</math>, <math>F \,\!</math> es la frecuencia de la componente fundamental de la onda periódica y <math>n \,\!</math> un número entero.
+== Ejemplos ==
-Toda onda periódica es, por definición, una ''onda determinista'', por cuanto puede ser descrita matemáticamente (mediante un [[modelo matemático]]).
+En la vida diaría existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el [[tiempo]]; situaciones como el movimiento de las manecillas de un [[reloj]] o las fases de la [[luna]] muestran un comportamiento periódico. Un '''movimiento periódico''' es aquel en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el ''mismo'' período.
-La forma más simple de onda periódica es la onda [[Armónico|armónica]] ([[Sinusoide|sinusoidal]]), que se describe matemáticamente:
+Para una función aplicada al conjunto de los [[Número real|números reales]] o al de los [[Número entero|enteros]], significa que la totalidad de su [[Gráfica de una función|gráfica]] puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares.
-<center><math>x_a (t) = A \sin (\Omega t + \theta) \,\!</math></center>
+De forma más explícita, se dice que una función ''f'' es '''periódica con período P''' mayor que cero si cumple que
+:<math>f \left ( x + P \right ) = f \left ( x \right )</math>
-Esta onda está completamente caracterizada por tres parámetros: <math>A \,\!</math> es la amplitud de la sinusoide, <math>\Omega \,\!</math> es la frecuencia en [[Radián|radianes]] por segundo (rad/s), y <math>\theta \,\!</math> es la fase en radianes. En lugar de <math>\Omega \,\!</math>, a menudo se utiliza la frecuencia <math>F \,\!</math> ciclos por segundo o [[Hercio|hercios]] (Hz), donde <math>\Omega = 2 \pi F \,\!</math>.
+para ''todos'' los valores de ''x'' en el [[Dominio de definición|dominio]] de ''f''. De manera análoga, una función no periódica es aquella que no posee dicho período ''P''.
-[[Archivo:OndaPeriodica.png|thumb|256px|Ejemplo de onda periódica más compleja. La línea horizontal azul indica el nivel del valor eficaz.]]
-Sin embargo, el modelo descrito para las ondas armónicas no sirve para describir estructuras periódicas más complicadas: las ondas anarmónicas. [[Jean-Baptiste Joseph Fourier|Joseph Fourier]] demostró que las ondas periódicas con formas complicadas pueden considerarse como suma de ondas armónicas (cuyas frecuencias son siempre múltiplos enteros de la frecuencia fundamental). Así, supongamos que <math>x_a(t) \,\!</math> representa el desplazamiento periódico de una onda en una cierta posición. Si <math>x_a(t) \,\!</math> y su derivada son continuas, puede demostrarse que dicha función puede representarse mediante una suma del tipo:
+Un ejemplo sencillo es la función ''f'' que devuelve la parte fraccional de su argumento:
-<center><math>x_a(t) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin(n \Omega t +\theta_n) \,\!</math></center>
+:<math>f \left ( 0,5 \right ) = f \left ( 1,5 \right ) = f \left ( 2,5 \right ) = 0,5</math>
+Si una función ''f'' es periódica con período ''P'', entonces para todo ''x'' en el dominio de ''f'' y para todo ''n'' [[Número entero|entero]]:
-El proceso de determinación matemática de los coeficientes <math>A_n \,\!</math> y las constantes de fase <math>\theta_n \,\!</math>, para una forma de onda dada se llama [[análisis de Fourier]]. Al igual que una forma de onda periódica puede analizarse como una [[serie de Fourier]] mediante las contribuciones relativas de la frecuencia fundamental y los armónicos superiores presentes en la forma de onda, también es posible construir nuevas formas de onda periódicas, sumando a la frecuencia fundamental distintas contribuciones de sus armónicos superiores. Este proceso se denomina [[síntesis de Fourier]].
+:<math>f \left ( x + Pn \right ) = f \left ( x \right )</math>
-Es importante notar que para las señales de ancho de banda limitado (en la práctica, todas las de interés en [[Telecomunicación|Telecomunicaciones]]), la suma de armónicos es también finita:
+En el ejemplo anterior, el valor de ''P'' es 1, dado que:
-<center><math>x_a(t) = \sum_{n=1}^N A_n \sin(n \Omega t +\theta_n) \,\!</math></center>
+:<math>f \left ( x \right ) = f \left ( x + 1\right ) = f \left ( x + 2\right ) = \mbox{etc.}</math>
+Esto no implica que el período de una función tenga que recibir el menor valor posible que satisfaga la expresión anterior, sino que podría tomar cualquier otro.
-siendo <math>N \,\!</math> el número total de armónicos de los que se compone la onda periódica. El armónico de frecuencia más baja se denomina primer armónico o armónico de frecuencia fundamental (<math>n=1 \,\!</math>, por tanto de amplitud <math>A_1 \,\!</math>, frecuencia <math>\Omega \,\!</math> y fase <math>\theta_1 \,\!</math>). De hecho, el caso más simple, el de una onda armónica, es un caso particular para un único armónico (<math>N=1 \,\!</math>). Otros casos requieren un número infinito de armónicos que sólo pueden existir en sus formas perfectas como abstracciones matemáticas debido a que en la naturaleza no se pueden crear o transmitir señales de ancho de banda infinito. Sin embargo, incluso sus aproximaciones (descritos como la suma de un número limitado de armónicos) son de gran interés en la práctica, especialmente en Telecomunicaciones. Entre estos casos de señales periódicas compuestos por infinitos armónicos se encuentran las [[Onda cuadrada|ondas cuadradas]] (onda compuesta exclusivamente por armónicos impares cuya amplitud es inversamente proporcional al número de armónico, es decir, <math>x_a(t) = \frac {4A}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{2n-1} \sin [(2n-1) \Omega t +\theta] \,\!</math> ) o las [[Onda triangular|triangulares]].
+Las [[Función trigonométrica|funciones trigonométricas]], tales como la función seno o coseno, son casos típicos de funciones periódicas, en las que su período es de 360 grados. En el caso de la tangente, vemos que su período es menor, siendo este de 180 grados.
-[[Archivo:Synthesis_square.gif|thumb|472px|center|Ejemplo de síntesis de una onda cuadrada a partir de la adición de sus componentes armónicos. La onda final resultante sólo es una aproximación debido al uso de un número finito de componentes armónicos: en total, 25. El último gráfico de la secuencia (harmonics: 25) puede ser descrito como: <math>x_a(t) = \frac {4A}{\pi} \sum_{n=1}^{25} \frac {1}{2n-1} \sin [(2n-1) \Omega t +\pi] \,\!</math>]]
+[[Imagen:SexaSinCosTan.svg|800px]]
+[[Categoría:Cálculo]]
-Esta propiedad demostrada por Fourier sobre las ondas periódicas es importante en el estudio de la [[Teoría de la información|Teoría de la Información]] y, muy especialmente, en la demostración del [[Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon]]. Este teorema demuestra que toda onda periódica limitada en banda (limitada a componentes armónicos por debajo de una frecuencia máxima conocida) puede ser descrita en su totalidad y sin ambigüedad por una serie de muestras no cuantificadas si se cumple que la frecuencia de muestreo es superior (nunca igual) al doble de la frecuencia del último armónico que puede contener la onda.
+[[Categoría:Funciones reales|Funcion periodica]]
-== Valores característicos de las ondas periódicas ==
-=== Valor medio ===
-El valor medio de una onda <math>x_a(t) \,\!</math> se calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a un periodo propio fundamental completo <math>T_p \,\!</math> desde cualquier instante <math>t_0 \,\!</math>.
-<center><math>A_{medio} = {{1 \over T_p} {\int_{t_0}^{t_0+T_p} x_a(t)\, dt}} \,\!</math></center>
-Es muy frecuente que el valor medio de una onda periódica sea cero. En electrotecnia y electrónica un valor medio no nulo mide la magnitud de un componente de [[Corriente continua|corriente continua]] en una señal.
-=== Valor eficaz ===
-El valor eficaz (raíz cuadrática media o ''RMS'') de una onda periódica <math>x_a(t) \,\!</math> se calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a un periodo propio fundamental completo <math>T_p \,\!</math> desde cualquier instante <math>t_0 \,\!</math>.
-<center><math>A_{rms} = \sqrt {{1 \over T_p} {\int_{t_0}^{t_0+T_p} x_a^2(t)\, dt}} \,\!</math></center>
-El valor eficaz de una onda periódica es de especial interés en [[física]] cuando se aplica a presiones (mecánica), tensiones o intensidades (electrotecnia ó electrónica) para cálculos relacionados con la energía o la potencia. Con relación al valor máximo (o valor de cresta o pico) <math>A_{max} \,\!</math> en una ónda de valor medio nulo, el cálculo del valor eficaz de las siguientes formas de onda se pueden simplificar:
-* Onda armónica simple (sinusoidal): <math>A_{rms} = \frac {A_{max}}{\sqrt 2} \,\!</math>
-* Onda cuadrada : <math>A_{rms} = A_{max} \,\!</math>
-* Onda triangular: <math>A_{rms} = \frac {A_{max}}{\sqrt 3} \,\!</math>
-La relación entre la amplitud máxima y el valor eficaz de una onda periódica depende, por tanto, de la forma de onda.
-=== Factor de pico o cresta ===
-Se define como la relación entre el valor de pico y el valor eficaz. Ejemplos de factores de pico:
-* Onda armónica simple (sinusoidal): <math>f_a = \sqrt 2 \,\!</math>
-* Onda cuadrada: <math>f_a = 1 \,\!</math>
-* Onda triangular: <math>f_a = \sqrt 3 \,\!</math>
-== Referencias ==
-<div class="references-small">
-<references />
-</div>
-== Véase también ==
-*[[Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon]]
-*[[Oscilador armónico]]
-*[[Serie de Fourier]]
-== Enlaces externos ==
-* [http://www.vias.org/physics/bk3_03_05.html Lectures on Physics] Periodic Waves (inglés).
-* [http://phys.strath.ac.uk/12-156/12156PDF/wwol2.pdf Periodic Waves] (inglés).
-* [http://161.67.2.90/Estudios/ITIE/Albacete/Asignaturas/CI_archivos/A_Descarga/Apuntes/Tema02/Tema02.pdf Formas de onda] (español).
-[[Categoría:Ondas|Onda periodica]]
-[[Categoría:Matemática elemental]]
-[[ar:دالة دورية]]
-[[ca:Ona periòdica]]
 [[cs:Periodická funkce]]
 [[da:Svingningstid]]
 [[de:Periodizität (Mathematik)]]
 [[en:Periodic function]]
-[[fa:تابع متناوب]]
 [[fi:Jaksollinen funktio]]
 [[fr:Fonction périodique]]
-[[he:פונקציה מחזורית]]
 [[it:Funzione periodica]]
 [[ja:周期関数]]
@@ Línea 99: / Línea 50: @@
 [[ms:Gerakan berkala]]
 [[nl:Periodieke functie]]
-[[no:Periodisk funksjon]]
 [[pl:Funkcja okresowa]]
 [[pt:Função periódica]]
-[[ru:Периодическая функция]]
-[[sk:Periodická funkcia]]
-[[sl:Periodična funkcija]]
 [[sv:Periodisk funktion]]
+javiier teamo!!!!
-[[th:ฟังก์ชันเป็นคาบ]]
-[[uk:Періодична функція]]
-[[zh:周期函数]]