Derivada de una función en forma paramétrica

Una derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente y dependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».

Primera derivada[editar]

Sean $x(t)\,$ e $y(t)\,$ las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:

{\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {y'(t)}{x'(t)}},

donde la notación $x'(t)\,$ indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}\,

o en otras palabras

{\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.

Formalmente, mediante la regla de la cadena;

${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$

y dividiendo ambos miembros por ${\frac {dx}{dt}}$ se obtiene la ecuación de arriba.

Segunda derivada[editar]

La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$	$={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$
	$={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}$
	$={\frac {d}{dt}}\left({\frac {y'}{x'}}\right){\frac {1}{x'}}$
	$={\frac {x'y''-y'x''}{x'^{3}}}$