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En teoría de números, el teorema de von Staudt–Clausen es un resultado que determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli, descubierto independientemente por Karl von Staudt y Thomas Clausen en 1840.
Concretamente, si n es un entero positivo y se suma 1/p al número de Bernoulli B2n por cada primo p tal que p − 1 divida a 2n, se obtiene un entero, i.e.,
Este hecho permite inmediatamente caracterizar los denominadores de los números de Bernoulli B2n distindos de cero como el producto de todos los primos p tales que p − 1 divida 2n; consecuentemente los denominadores son libre de cuadrados y divisibles por 6.
Esos denominadores son
- 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (sucesión A002445 en OEIS).
Véase también
Referencias
- Clausen, Thomas (1840), «Theorem», Astronomische Nachrichten 17 (22): 351-352, doi:10.1002/asna.18400172204.
- Rado, R. (1934), «A New Proof of a Theorem of V. Staudt», J. London Math. Soc. 9 (2): 85-88, doi:10.1112/jlms/s1-9.2.85.
- von Staudt, Ch. (1840), «Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend», Journal für Reine und Angewandte Mathematik 21: 372-374, ISSN 0075-4102, JFM 021.0672cj.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «von Staudt-Clausen Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.