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En teoría de conjuntos, el axioma de regularidad o axioma de fundación es un axioma que postula que ciertos conjuntos «patológicos», como por ejemplo un conjunto que se contenga a sí mismo como elemento, no pueden existir. Fue propuesto por Von Neumann y Zermelo entre 1925 y 1930.^[1]

Enunciado

La manera en la que se enuncia el axioma de regularidad es asegurando que cada conjunto posee un elemento que es disjunto con él:

Axioma de regularidad

$\forall A\neq \varnothing \,,\,\exists B\in A:A\cap B=\varnothing$

Una manera equivalente de enunciar el axioma de regulardidad es afirmando que todos los conjuntos son regulares, es decir, que la relación de pertenencia ∈ vista como un orden parcial tiene un elemento mínimo en todos los conjuntos. En particular, esto prohíble la existencia de una sucesión infinita de conjuntos de la forma x₁ ∋ x₂ ∋ x₃ ∋ ... De este modo, es sencillo entender que el axioma de regularidad prohíbe la existencia de conjuntos «patológicos» —no regulares— tales como:

x = {x} : se tendría x ∋ x ∋ ...
La pareja y = {z}, z = {y} : se tendría y ∋ z ∋ y ∋ ...

Rango

Una de las consecuancias más importantes del axioma de regularidad es la clasificación de todos los conjuntos por «etapas», construidas a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la potenciación de conjuntos. Se define para cada ordinal, según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite:

$R_{0}=\varnothing {\text{ , }}R_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(R_{\alpha }){\text{ , }}R_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }R_{\alpha }{\text{ ,}}$

Se tiene entonces el siguiente teorema:

Todo conjunto regular está en algún R_$α$.

Por esto, el axioma de regularidad se denota usualmente como «V = R», es decir, la clase universal (de la totalidad de conjuntos) y la clase R de los conjuntos regulares (la unión de todos los R_$α$) son idénticas. Puede clasificarse entonces cada conjunto regular en algún R_α:

El rango de un conjunto regular x es el mínimo ordinal $α$ tal que x ∈ R_{$α$ +1}.

Consistencia relativa

El axioma de regularidad (V = R) es totalmente independiente del resto de axiomas de ZF y NBG. La clase R de los conjuntos regulares es un modelo del resto de axiomas de ZF, luego de estos no puede probarse la existencia de un conjunto no regular, y asumir V = R es consistente. De modo similar, puede construirse un modelo del resto de ZF en el que aparezcan conjuntos del tipo x = {x}, luego es imposible probar la regularidad de todos los conjuntos, y asumir V ≠ R también es consistente.

Referencias

↑ Véase Ferreirós, 2007, §2.2 y §2.3.

Cohen, Paul J. (1966). Set theory and the continuum hypothesis (en inglés). W.A. Benjamin. OCLC 291078. En II.5 describe el axioma de regularidad.
Ferreirós, José (2007). Labyrinth of Thought (en inglés). Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8349-7.

[1] Véase Ferreirós, 2007, §2.2 y §2.3.

[1]

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-El '''axioma de regularidad''' o '''axioma de fundación''' es un [[axioma]] de la [[teoría de conjuntos|Teoría de Conjuntos]] (enmarcada en su formulación de [[Axiomática de Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel-Skolem]]). Es conocido usualmente como <math>V = R</math>. Fue establecido por [[Zermelo]] en [[1930]] (si bien [[Von Neumann]] había propuesto en [[1929]] uno similar de formulación más compleja).
+En [[teoría de conjuntos]], el '''axioma de regularidad''' o '''axioma de fundación''' es un [[axioma]] que postula que ciertos [[conjunto]]s «patológicos», como por ejemplo un conjunto que se contenga a sí mismo como elemento, no pueden existir. Fue propuesto por [[Von Neumann]] y [[Zermelo]] entre 1925 y 1930.<ref>Véase {{Harvsp|Ferreirós|2007|loc=§2.2 y §2.3}}.</ref>
 == Enunciado ==
+La manera en la que se enuncia el axioma de regularidad es asegurando que cada conjunto posee un elemento que es [[disjunto]] con él:
+{{definición|título=Axioma de regularidad|1=<math>\forall A\neq\varnothing\,,\,\exist B\in A:A\cap B=\varnothing</math>}}
+Una manera equivalente de enunciar el axioma de regulardidad es afirmando que todos los conjuntos son [[conjunto regular|regulares]], es decir, que la relación de pertenencia &isin; vista como un [[orden parcial]] tiene un [[elemento mínimo]] en todos los conjuntos. En particular, esto prohíble la existencia de una sucesión infinita de conjuntos de la forma ''x''<sub>1</sub> &ni; ''x''<sub>2</sub> &ni; ''x''<sub>3</sub> &ni; ... De este modo, es sencillo entender que el axioma de regularidad prohíbe la existencia de conjuntos «patológicos» —no regulares— tales como:
+*''x'' = {''x''} : se tendría ''x'' &ni; ''x'' &ni; ...
+*La pareja ''y'' = {''z''}, ''z'' = {''y''} : se tendría ''y'' &ni; ''z'' &ni; ''y'' &ni; ...
+=== Rango ===
-Podemos enunciar el axioma de regularidad afirmando que dado un conjunto no vacío <math>x</math>, existe siempre algún elemento suyo <math>y \in x</math> de manera que es disjunto con <math>x</math>. Formalmente:
+Una de las consecuancias más importantes del axioma de regularidad es la clasificación de todos los conjuntos por «etapas», construidas a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la [[Conjunto potencia|potenciación de conjuntos]]. Se define para cada [[número ordinal (teoría de conjuntos)|ordinal]], según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite:
+{{definición|1={{ecuación|<math>R_0=\varnothing\text{ , }R_{\alpha+1}=\mathcal P (R_\alpha)\text{ , }R_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}R_\alpha\text{ ,}
+</math>}}
+}}
+Se tiene entonces el siguiente teorema:
+{{teorema|1=Todo conjunto regular está en algún ''R''<sub><span class="texhtml">α</span></sub>.}}
+Por esto, el axioma de regularidad se denota usualmente como «''V'' = ''R''», es decir, la [[clase universal]] (de la totalidad de conjuntos) y la clase ''R'' de los conjuntos regulares (la [[unión de conjuntos|unión]] de todos los ''R''<sub><span class="texhtml">α</span></sub>) son idénticas. Puede clasificarse entonces cada conjunto regular en algún ''R''<sub>&alpha;</sub>:
+{{definición|1=El '''rango''' de un conjunto regular ''x'' es el mínimo ordinal ''<span class="texhtml">α</span>'' tal que ''x'' &isin; ''R''<sub><span class="texhtml">α</span>+1</sub>.}}
+== Consistencia relativa ==
-<math>\forall x (x \neq \varnothing \Rightarrow \exists y \in x : y \cap x = \varnothing)</math>
+El axioma de regularidad (''V'' = ''R'') es totalmente independiente del resto de axiomas de [[axiomas de Zermelo-Fraenkel|ZF]] y [[teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel|NBG]]. La clase ''R'' de los conjuntos regulares es un [[teoría de  modelos|modelo]] del resto de axiomas de ZF, luego de estos no puede probarse la existencia de un conjunto no regular, y asumir ''V'' = ''R'' es consistente. De modo similar, puede construirse un modelo del resto de ZF en el que aparezcan conjuntos del tipo ''x'' = {''x''}, luego es imposible probar la regularidad de todos los conjuntos, y asumir ''V'' &ne; ''R'' también es consistente.
-== Usos ==
+== Referencias ==
+{{listaref}}
-El axioma de regularidad es un axioma de tipo técnico, es decir, su uso es muy restringido en [[teoría de conjuntos]], y fue formulado ad hoc para evitar ciertas "patologías", como un conjunto ''x'' que se pertenezca a sí mismo (''x''&isin;''x''), puesto que dicho axioma es equivalente a afirmar que todos los conjuntos son [[conjunto regular|regulares]].
+*{{cita libro|apellidos=Cohen|nombre=Paul J.|título=Set theory and the continuum hypothesis|año=1966|editorial=W.A. Benjamin|idioma=inglés|oclc=291078}} En II.5 describe el axioma de regularidad.
+*{{cita libro|apellidos=Ferreirós|nombre=José|título=Labyrinth of Thought|editorial=Birkhäuser Verlag AG|año=2007|isbn=978-3-7643-8349-7|idioma=inglés}}
-=== Rango ===
-Una de las conclusiones más importantes que produce es la de que cualquier conjunto puede obtenerse a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la [[Conjunto potencia|potenciación de conjuntos]]. Definamos para cada [[número ordinal (teoría de conjuntos)|ordinal]], según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite,
-{{ecuación|<math>R_0=\emptyset\text{ , }R_{\alpha+1}=\mathcal P (R_\alpha)\text{ , }R_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}R_\alpha\text{ ,}
-</math>}}
-Tenemos entonces el siguiente teorema:
-{{teorema|La totalidad de los conjuntos regulares ''R'' puede obtenerse como unión de todos los ''R''<sub>&alpha;</sub>.}}
-Según el axioma de regularidad, todos los conjuntos son regulares, lo que nos permite clasificar a cada conjunto ''x'' en algún ''R''<sub>&alpha;</sub>.
-{{definición|El '''rango''' de un conjunto ''x'' es el mínimo ordinal <math>\alpha</math> tal que ''x''&isin;''R''<sub>&alpha;+1</sub>.}}
 [[Categoría:Axiomas de la teoría de conjuntos|Regularidad]]