Diferencia entre revisiones de «Recta real extendida»
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The graph of this function has a horizontal [[asymptote]] at ''f''(''x'') = 0. Geometrically, as we move farther and farther to the right along the ''x''-axis, the value of 1/''x''<sup>2</sup> approaches 0. This limiting behavior is similar to the [[limit of a function]] at a [[real number]], except that there is no real number to which ''x'' approaches. |
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La gráfica de esta función tiene una [[asíntota]] horizontal en ''f''(''x'') = 0. Geométricamente,cuanto más nos movemos hacia la derecha por el eje ''x'', el valor de 1/''x''<sup>2</sup> se aproxima a 0. Este comportamiento al límite es similar al del [[límite de una función]] en un [[número real]], excepto que ahí no hay número real hacia el cual ''x'' se aproxima. |
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By adjoining the elements +∞ and −∞ to '''R''', we allow a formulation of a "limit at infinity" with [[topology|topological]] properties similar to those for '''R'''. |
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Añadiéndole los elementos +∞ y −∞ a '''R''', se permite la formulación de "límite al infinito" con propiedades [[topology|topológicas]] similares a las de '''R'''. |
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To make things completely formal, the [[Cauchy sequences]] definition of '''R''' allows us to define +∞ as the set of all sequences of rationals which, for any K>0, from some point on exceed K. We can define −∞ similarly. |
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Para ser completamente formales, la definición de '''R''' en términos de [[sucesiones de Cauchy]], permite definir +∞ como el conjunto de todas las sucesiones de racionales que, para todo K>0, se excede K en algún punto. Se puede definir −∞ similarmente. |
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===Measure and integration=== |
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Revisión del 02:36 25 ago 2011
En matemática, la recta real extendida o recta real acabada, se obtiene a partir de los números reales R por la añadidura de dos elementos: +∞ y −∞ (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: ∞ (infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales. Son útiles para describir varios comportamientos al límite en cálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración. La recta real extendida se denota por R o bien [−∞, +∞].
Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo +∞ suele escribirse simplemente como ∞.
Definiciones
Límites
Suele describirse el comportamiento de una función f(x), cuando o bien el argumento x o el valor de la función f(x) se vuelve «muy grande» en algún sentido. Por ejemplo, la función
La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en f(x) = 0. Geométricamente,cuanto más nos movemos hacia la derecha por el eje x, el valor de 1/x2 se aproxima a 0. Este comportamiento al límite es similar al del límite de una función en un número real, excepto que ahí no hay número real hacia el cual x se aproxima.
Añadiéndole los elementos +∞ y −∞ a R, se permite la formulación de "límite al infinito" con propiedades topológicas similares a las de R.
Para ser completamente formales, la definición de R en términos de sucesiones de Cauchy, permite definir +∞ como el conjunto de todas las sucesiones de racionales que, para todo K>0, se excede K en algún punto. Se puede definir −∞ similarmente.