Axioma de regularidad

El axioma de regularidad o axioma de fundación es un axioma de la Teoría de Conjuntos (enmarcada en su formulación de Zermelo-Fraenkel-Skolem). Es conocido usualmente como $V=R$. Fue establecido por Zermelo en 1930 (si bien Von Neumann había propuesto en 1929 uno similar de formulación más compleja).

Enunciado

Podemos enunciar el axioma de regularidad afirmando que dado un conjunto no vacío $x$, existe siempre algún elemento suyo $y\in x$ de manera que es disjunto con $x$. Formalmente:

$\forall x(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y\in x:y\cap x=\varnothing )$

Usos

El axioma de regularidad es un axioma de tipo técnico, es decir, su uso es muy restringido en teoría de conjuntos, y fue formulado ad hoc para evitar ciertas "patologías", como un conjunto x que se pertenezca a sí mismo (x∈x), puesto que dicho axioma es equivalente a afirmar que todos los conjuntos son regulares.

Una de las conclusiones más importantes que produce es la de que cualquier conjunto puede obtenerse a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la potenciación de conjuntos. Definamos para cada ordinal $\alpha$, según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite,

${\begin{array}{l}R_{0}=\emptyset \\R_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(R_{\alpha })\\R_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }R_{\alpha }{\text{ ,}}\end{array}}$

Tenemos entonces el siguiente teorema:

La totalidad de los conjuntos regulares R puede obtenerse como unión de todos los Rα.

Esto nos permite clasificar, por el axioma de regularidad, a cada conjunto x en algún R_α.

El rango de un conjunto x es el mínimo ordinal $\alpha$ tal que x∈Rα.