Diferencia entre revisiones de «Fenómeno de Runge»

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[[ImagenArchivo:Rungesphenomenon.png|right|thumb|300px|La curva roja es la función de Runge, la azul es un polinomio de 5º grado, y la verde es uno de 9º grado. La aproximación sólo empeora]]
 
En el campo [[matemático|matemática]] del [[análisis numérico]], el '''fenómeno de Runge''' es un problema que sucede cuando se usa [[interpolación polinómica]] con polinomios de alto grado. Lo descubrió [[Carle David Tolmé Runge]] cuando exploraba el comportamiento de los errores al usar interpolación polinómica para aproximar determinadas funciones.
:<math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}.\,</math>
 
Runge descubrió que si se [[interpolación|interpola]] esta función en puntos equidistantes ''x''<sub>''i''</sub> entre &minus;1−1 y 1 tal que:
 
:<math>x_i = -1 + (i-1)\frac{2}{n},\qquad i \in \left\{ 1, 2, \dots, n+1 \right\}</math>
 
con un [[polinomio]] <math>P_n(x)</math> de grado <math>\leq n</math>, la interpolación resultante oscila hacia los extremos del intervalo, es decir, cerca de &minus;1−1 y 1. Incluso se puede probar que el error de interpolación tiende a infinito cuando crece el grado del polinomio:
 
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{-1 \leq x \leq 1} | f(x) -P_n(x)| \right) = \infty.</math>
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