Notación multi-índice

La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas. Esencialmente un multi-índice $\alpha \,$ es una n-tupla de números enteros, cuya medida $|\alpha |\,$ viene dada por:

$\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n},\qquad |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}\dots +\alpha _{n}$

Se define $\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!$.

Derivación

Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables:

$D^{\alpha }f\equiv {\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$

Polinomios

Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios $K[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$. La expresión $X^{\alpha }\,$ escrita mediante multi-índice $\alpha \,$ representa el monomio de n variables dado por:

$X^{\alpha }\equiv X_{1}^{\alpha _{1}}X_{2}^{\alpha _{2}}\dots X_{n}^{\alpha _{n}}$