Fenómeno ondulatorio: oscilaciones forzadas

Introducción

Para entender la estrecha relación que existe entre un fenómeno ondulatorio y un vibración forzada empezaremos definiendo un sistema que utilizaremos para generar una onda mecánica. Para ello se atara una cuerda ideal de longitud infinita de manera que el movimiento del sistema por definir, sirva como una fuente de ondas mecánicas.

Al hablar de una cuerda ideal nos referimos a una cuerda cuya masa es despreciable en comparación con la del sistema. Estas hipotesis nos permitirá igualar la coordenada de movimiento del sistema $x$ con la de la cuerda $\psi$ y sustituirla en su ecuación de movimiento sin modificar la masa, el coeficiente de amortiguamiento ni su frecuencia natural ,esto es, resolver la ecuación de movimiento del sistema equivaldrá a tener una expresión para el movimiento que sigue la cuerda.

Una vez hecho esto realizaremos un análisis de forma gráfica y analitica de dicha expresión

Deducción del Modelo

Sea A un sistema de masa m sujeto a un resorte ideal que obedece la ley de Hooke. Si el sistema se encuentra inmerso en un medio resistente que ejerce una fuerza de amortiguamiento proporcinal a la primera potencia de la velocidad y si además se ejerce sobre él una fuerza de la forma $f(x)=f_{0}cos\left(w_{0}t\right)$ (véase Fig.1) entonces por segunda ley de Newton tenemos que:

$-\propto {\ddot {x}}-kx+f_{0}cos\left(w_{0}t\right)=m{\ddot {x}}$

o bien

$m{\ddot {x}}+\propto {\dot {x}}+kx=f_{0}cos\left(w_{0}t\right)$

definiendo

$\beta \equiv {\frac {\propto }{2m}},w\equiv {\frac {k}{m}},F_{0}\equiv {\frac {f_{0}}{m}}$

obtenemos la siguiente ecuación diferencial

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+wx=F_{0}cos\left(w_{0}t\right)$

Ahora bien fijamos sobre el sistema una cuerda ideal de longitud l de manera que $x=\psi$ obetenemos

${\ddot {\psi }}+2\beta {\dot {\psi }}+w_{0}\psi =F_{0}cos\left(w_{0}t\right)$

Cuya solución es la suma de la ecuación

$\psi _{general}=\psi _{homogenea}+\psi _{particular}$

Término Estable

---

${\ddot {\psi }}_{c}+2\beta {\dot {\psi }}_{c}+w_{0}\psi _{c}=F_{c}$

$\psi _{c}=\psi _{0}e^{iw_{0}t}$

${\dot {\psi _{c}}}=i\psi _{0}we^{iw_{0}t}$

${\ddot {\psi _{c}}}=-\psi _{0}w^{2}e^{iw_{0}t}$

$(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{0}e^{iw_{0}t}=F_{c}$

$(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{c}=F_{c}$

$\psi _{c}={\frac {F_{0}e^{iwt}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}$

$\psi _{c}\equiv {\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}$

$\psi _{c}={\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}{\frac {(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}}={\frac {F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}$

$\psi _{c}={\frac {F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2})}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}-i{\frac {F_{0}2\beta w}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}=\psi _{0}e^{i\propto }$

$\psi _{0}(w)={\frac {1}{\sqrt {(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}}$

$\propto (w)=ArcTan({\frac {-2\beta w}{w_{0}^{2}-w^{2}}})$