Función periódica

En matemática, una función es periódica si los valores de la variable dependiente se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado período:

$f\left(x\right)=f\left(x+P\right)$

Donde P es el período.

Ejemplos

En la vida diaría existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es aquel en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el mismo período.

Para una función aplicada al conjunto de los números reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su gráfica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares.

De forma más explícita, se dice que una función f es periódica con período P mayor que cero si cumple que

$f\left(x+P\right)=f\left(x\right)$

para todos los valores de x en el dominio de f. De manera análoga, una función no periódica es aquella que no posee dicho período P.

Un ejemplo sencillo es la función f que devuelve la parte fraccional de su argumento:

$f\left(0,5\right)=f\left(1,5\right)=f\left(2,5\right)=0,5$

Si una función f es periódica con período P, entonces para todo x en el dominio de f y para todo n entero:

$f\left(x+Pn\right)=f\left(x\right)$

En el ejemplo anterior, el valor de P es 1, dado que:

$f\left(x\right)=f\left(x+1\right)=f\left(x+2\right)={\mbox{etc.}}$

Esto no implica que el período de una función tenga que recibir el menor valor posible que satisfaga la expresión anterior, sino que podría tomar cualquier otro.

Las funciones trigonométricas, tales como la función seno o coseno, son casos típicos de funciones periódicas, en las que su período es de 360 grados. En el caso de la tangente, vemos que su período es menor, siendo este de 180 grados.

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