Ergodicidad

La ergodicidad es una propiedad muy importante de algunos sistemas mecánicos que permite justificar ciertos resultados de la mecánica estadística. Un sistema es ergódico si el único conjunto invariante de medida no nula de la hipersuperficie de energía constante del espacio de las fases es toda la hipersuperficie de energía constante.

Ergodicidad y teorema ergódico de Birkhoff

En los sistemas ergódicos es válido el teorema de Birkhoff que permite substituir promedios temporales del sistema por un promedio espacial sobre una región del espacio de las fases. El enunciado del teorema ergódico, debido a Birkhoff (1931) es el siguiente:

Sea $T:X\to X$ una transformación que preserva la medida en un espacio de medida

$(X,\Sigma ,\mu )$. Se puede considerar el "promedio temporal" de una función f suficientemente bien comportada (más precisamente, $f\in L^{1}(\mu )$). Este "promedio temporal" se define como la medida sobre las iteraciones de T empezando en cierto punto x y cuando existe es:

${\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)$

Si se considera además el "promedio espacial" de f, definido como:

${\bar {f}}=\int f\,d\mu$

donde μ es la medida de probabilidad del espacio: