Polinomio simétrico

En matemáticas, un polinomio simétrico es un anillo de polinomios en n variables $P(X_{1},X_{2},...,X_{n})$, tal que si intercambiamos alguna de las variables el polinomio sigue siendo el mismo.

Ejemplos

Estos polinomios:

• $P(X_{1},X_{2})=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7$
• $P(X_{1},X_{2})=4X_{1}X_{2}$
• $P(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}$

son todos simétricos. El polinomio $P(X_{1},X_{2})=X_{1}-X_{2}$ no es simétrico, ya que si intercambiamos $X_{1}$ y $X_{2}$ obtenemos el polinomio $X_{2}-X_{1}$, que no es el mismo.

Los ladrillos constituyentes de los polinomios simétricos

Para cada n, existen n polinomios simétricos elementales en las variables $X_{1},X_{2},...,X_{n}$. Son los ladrillos constiyutentes para todos los polinomios simétricos en dichas variables, lo que quiere decir que todo polinomio simétrico en n variables puede obtenerse a partir de estos polinomios elementales mediante multiplicaciones y sumas. Más concretamente: cualquier polinomio simétrico en n variables es un polinomio de los n polinomios elementales simétricos en dichas variables. Por ejemplo, para n=2, sólo hay dos polinomios simétricos elementales, $X_{1}+X_{2}$ and $X_{1}X_{2}$. El primer polinomio de la lista de arriba puede entonces escribirse como sigue:

$P(X_{1},X_{2})=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=(X_{1}+X_{2})^{3}-3X_{1}X_{2}(X_{1}+X_{2})-7.$

Véase también

• función simétrica - este término es empleado a veces para referirse a los polinomios simétricos.